Nichtparametrische Datenanalyse

Die wiederholte Durchführung von Experimenten zur Vermeidung von zufallsbedingten Versuchsergebnissen und die daraus resultierende Gesamtbewertung eines Experimentes ist Grundlage vieler Erkenntnisse der wissenschaftlichen Forschung. Das Ziel der Wiederholung eines Experimentes ist das Erkennen eines systematischen Effektes vor dem Hintergrund von zufällig schwankenden Messergebnissen. Diese können vielfältiger Natur sein und auf unterschiedlichen Typen von Skalen gemessen werden. Zur Beschreibung der Daten eines Versuchs durch ein adäquates Modell muss den unterschiedlichen Typen der Mess-Skalen Rechnung getragen werden. Will man ein möglichst allgemein gültiges Modell aufstellen, so muss man zunächst festlegen, welche Typen von Mess-Skalen durch ein solches Modell erfasst werden sollen. Daher werden zunächst die Mess-Skalen, auf denen die Versuchsergebnisse beobachtet werden, unter verschiedenen Gesichtspunkten betrachtet.

In diesem Zusammenhang wird die normalisierte Version der Verteilungsfunktion eingef ührt, die im Falle von Bindungen automatisch zu denMittelrängen führt und sich für die Herleitung theoretischer Resultate als sehr nützlich erweist. Damit entfällt die gesonderte Betrachtung der Verfahren im Falle von Bindungen (gleichen Messwerten). Die speziellen Formeln für den Fall, dass keine Bindungen vorliegen, ergeben sich als Spezialfall aus den allgemeinen Formeln.

In diesem Kapitel wird auch der Begriff des relativen Effektes eingeführt, der durch Ränge geschätzt werden kann. Der relative Effekt bei den Rangverfahren ist ein allgemeiner Effekt, der das Gegenstück zur Differenz der Erwartungswerte bei parametrischen Verfahren darstellt. Er wird sowohl für zwei als auch für mehrere Stichproben definiert und genauer untersucht. Die in diesem Buch behandelten Rangverfahren beruhen auf diesem Effekt. Es ist bewusst hier ein von der klassischen Literatur abweichender Zugang zu den Rangverfahren gewählt worden, bei dem die Verfahren nicht dadurch hergeleitet werden, dass die Messwerte einfach durch ihre Ränge ersetzt werden. Es wirdWert darauf gelegt, Ränge nur als ein Hilfsmittel anzusehen, die relatvien Effekte, die den bekannten Rangverfahren zugrunde liegen, bequem und rasch zu schätzen. Eine ausführliche Diskussion zur Bedeutung und Interpretation des relativen Effektes findet man am Ende von Abschnitt 1.4.1.

In diesem Abschnitt werden nichtparametrische Methoden für Versuchspläne mit einem festen Faktor A vorgestellt. In jeder der i = 1, ... , a Stufen des Faktors A werden n _i unabhängige Zufallsvariablen (Individuen, engl. subjects) \( X_{i1} \), ... ,\( X_{in_i} \) beobachtet. Da die Individuen innerhalb einer Faktorstufe i Wiederholungen des Versuchs darstellen, werden die Beobachtungen sinnvollerweise als identisch verteilt angenommen, d.h. \( X_{ik} \sim F_i(x) \), i = 1, ... , a, k = 1, ... , n _i . Allgemein werden Versuchspläne dieser Art auch einfaktorielle Versuchsanlagen oder unverbundene a-Stichproben Probleme genannt.

Wichtige Spezialfälle der einfaktoriellen Versuchspläne sind die Pläne mit a = 2 Faktorstufen, die separat in Abschnitt 2.1 betrachtet werden. Hier wird der bekannte Wilcoxon-Mann-Whitney Test in einer allgemeinen Form hergeleitet, die den Fall, dass keine Bindungen vorhanden sind, als Sonderfall einschließt. Bei der Anwendung auf dichotome Daten stellt sich dann Fisher’s exakter Test als Spezialfall des Wilcoxon-Mann-Whitney Tests heraus. Weiterhin wird eine Verallgemeinerung des Wilcoxon-Mann-Whitney Tests auf das so genannte nichtparametrische Behrens-Fisher Problem behandelt. Die Planung des notwendigen Stichprobenumfangs für den Wilcoxon-Mann-Whitney Test wird kurz in Abschnitt 2.1.4 dargestellt. Konfidenzintervalle für den in Abschnitt 1.4 definierten relativen Effekt und auch für einen Verschiebungseffekt in Lokationsmodellen werden in Abschnitt 2.1.5 behandelt. Ein Teil der in Abschnitt 2.1 vorgestellten Methoden und Ergebnisse wird anschließend in Abschnitt 2.2 auf mehr als zwei Stichproben (a > 2) verallgemeinert. Dabei wird der bekannte Kruskal-Wallis-Test in einer allgemeinen Form hergeleitet, aus der sich die bekannte Kruskal-Wallis Statistik für den Fall ohne Bindungen als Spezialfall ergibt. Bei der Anwendung auf dichotome Daten ergibt sich der bekannte \( \chi^2 \)-Homogenitätstest. Weiterhin werden in Abschnitt 2.2.5 Trend-Tests und allgemeine Verfahren für gemusterte Alternativen hergeleitet, wobei die bekannten Verfahren von Hettmansperger-Norton und von Jonckheere-Terpstra vorgestellt werden. Schließlich werden kurz in Abschnitt 2.2.6 multiple Verfahren diskutiert. Konfidenzintervalle für relative Effekte bei mehreren Verteilungen werden schließlich in Abschnitt 2.2.7 behandelt.

Die Verallgemeinerung des Kruskal-Wallis-Tests auf mehrfaktorielle Versuche war lange Zeit ein ungelöstes Problem und es wurden zahlreiche Verfahren für spezielle Modelle in speziellen Versuchsanlagen entwickelt. Der entscheidende Schritt zur Entwicklung eines allgemeinen Verfahrens gelang Akritas und Arnold (1994) in einem zweifaktoriellen Repeated-Mearsures Modell dadurch, dass sie die Hypothesen in den Verteilungsfunktionen formulierten - analog zu den Hypothesen in den linearen Modellen. Diese Idee wurde dann von Akritas, Arnold und Brunner (1997) aufgegriffen und es wurde ein allgemeines Rangverfahren für beliebige faktorielle Versuchsanlagen entwickelt, das in diesem Kapitel auf zwei- und dreifaktorielle Versuchsanlagen mit gekreuzten und verschachtelten Faktoren angewendet wird. Die Technik zur Verallgemeinerung auf mehrere Faktoren wird in Abschnitt 3.2.2 erläutert. Die rechentechnische Durchführung dieser Verfahren mit SASStandard- Prozeduren wird in Abschnitt 3.2.1.6 beschrieben.

In diesem Kapitel werden die theoretischen Resultate hergeleitet, auf denen die Verfahren in den vorangegangenen Abschnitten beruhen. Dabei geht es in erster Linie um eine geschlossene Darstellung der Theorie für Modelle mit festen Effekten. Die asymptotische Normalität der im Buch behandelten Rangstatistiken im Fall von beliebigen Bindungen (lediglich Ein-Punkt Verteilungen sind ausgeschlossen) wird allgemein hergeleitet und die L ₂-Konsistenz der Rangvarianz-Schätzer wird ebenfalls allgemein hergeleitet. Der Leser, der nur an Anwendungen oder Verfahren für spezielle Versuchspläne und deren Umsetzung interessiert ist, kann das Kapitel beim Lesen überschlagen.