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2021 | Buch

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Nützliche und schöne Geometrie

Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie

verfasst von: Dr. Wolfgang Zeuge

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch ist eine wertvolle Ergänzung zu den klassischen, in der Schule gelehrten Inhalten der Geometrie und möchte die Freude am Umgang mit Geometrie wecken. Es wählt einen anschaulichen Zugang und ist daher besonders für alle diejenigen geeignet, die sich aus Interesse mit Geometrie beschäftigen wollen oder als Lehrkraft neue und unkonventionelle Ideen für Unterricht oder Seminare suchen.
Das Buch kann als Grundlage für Leistungskurse, Arbeitsgemeinschaften oder Wahlpflichtkurse dienen, wobei man sich auf das in der zur Verfügung stehenden Zeit sinnvoll Machbare beschränken sollte. Auch für den Übergang von Schule zu Hochschule ist es gut geeignet, insbesondere für Lehramtsstudierende.
Der Einstieg ins Buch ist bewusst sehr niedrigschwellig: Vieles aus dem ersten Teil des Buches wird, je nach den individuellen Vorkenntnissen, schon bekannt sein. Es wird hier allerdings aus anderer Perspektive betrachtet als es in der Schule (insbesondere in der Mittelstufe) üblich ist und und bringt somit einen nützlichen Mehrwert.
Für die 2. Auflage wurde das Buch korrigiert und um einige Inhalte ergänzt. Neu sind außerdem Übungsaufgaben, sowie am Ende des Buchs ein Kapitel mit den dazugehörigen Lösungen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlegendes

Frontmatter

Kapitel 1. Aller Anfang ist einfach

Zusammenfassung

In diesem einleitenden Kapitel bietet der Autor einen ungewöhnlichen, aber sehr direkten, anschaulichen und schnellen Zugang zu den elementaren Sätzen der euklidischen Geometrie. Dieses Vorgehen dürfte nicht nur für Lehrkräfte, die einen schnellen Zugang für ihre Schützlinge suchen, sehr interessant sein. Vieles wird der Leserin oder dem Leser je nach Kenntnisstand schon bekannt sein. Aber Bekanntes aus einem anderen Blickwinkel zu betrachten, ist sicher nützlich. Einige interessante Anwendung, die Strahlensätze und die Sätze von Menelaos und Ceva runden dieses Kapitel ab.

Wolfgang Zeuge

Kapitel 2. Rund um den Satz des Pythagoras

Zusammenfassung

Der Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck ist sicher der bekannteste Satz der Geometrie. Für keinen anderen Satz gibt es so viele Beweise, von denen hier einige interessante geboten werden. Neben dem Katheten- und dem Höhensatz des Euklid werden u. a. die Möndchen des Hippokrates, der Satz von Eddy, eine geometrische Interpretation der Mittelwerte und die Heronsche Formel behandelt.

Wolfgang Zeuge

Kapitel 3. Die trigonometrischen Funktionen und ihre Anwendungen

Zusammenfassung

Die trigonometrischen Funktionen sind neben der Exponential- und der Logarithmusfunktion die einzigen „höheren“ Funktionen, die man normalerweise in der Schule lernt. Da sie aber nicht nur für Geometrie sondern auch für viele Gebiete der Wissenschaft und Technik vor großer Bedeutung sind, werden sie hier sehr ausführlich eingeführt und ihre wichtigsten Rechenregeln und Eigenschaften besprochen. Historische Anmerkungen zeigen den langen Weg von der ersten antiken trigonometrischen Funktion hin zu den heute üblichen. Aus dem Peripherie- und Zentriwinkelsatz erhält man sehr einfach den wichtigen Sinussatz. Für den Kosinussatz wird ein neuer schöner und anschaulicher Beweis von 1988 geboten. Eine Navigationsaufgabe mit überraschender Lösung und eine ausführlich Besprechung der Grundaufgaben der Dreiecksberechnung mit konstruktiven und rechnerischen Lösungen rundet das Kapitel ab.

Wolfgang Zeuge

Schöne Dreieckssätze

Frontmatter

Kapitel 4. Ausgezeichnete Geraden und Punkte beim Dreieck

Zusammenfassung

Von den ausgezeichneten Punkten im Dreieck werden die wichtigsten besprochen. Für den Schwerpunkt, dem wohl wichtigsten dieser Punkte, wird ein physikalischer Beweis im Stil von Archimedes geführt und ein völlig anders gearteter geometrischer Beweis. Auf der Euler-Geraden liegen die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten, der Seitenhalbierenden und der Höhen. Der Neunpunktekreis (Feuerbach-Kreis) und viele seiner Eigenschaften werden ausführlich hergeleitet. Auch sein Mittelpunkt liegt auf der Euler-Geraden.

Wolfgang Zeuge

Kapitel 5. Von Dreiecken und Quadraten

Zusammenfassung

Ausgehend von zwei sich berührenden Quadraten werden eine Fülle von schönen und einfachen Sätzen besprochen, wobei bei der Beweisführung besonderer Wert auf Anschaulichkeit gelegt wird. Der Satz von van Aubel für allgemeine Vierecke wird ebenfalls sehr anschaulich bewiesen. Sein Grenzfall ist der Satz von Vecten für Dreiecke. Die Vecten-Figur ist Ausgangspunkt für eine Fülle von stufenweise aufeinander aufbauenden überraschenden Sätzen.

Wolfgang Zeuge

Kapitel 6. Dreiecke über Dreiecke

Zusammenfassung

Der Beweis des bekannten Satzes von Napoleon ergibt eine schöne allgemeine Pflasterung der Ebene aus Dreiecken und hängt eng mit dem Satz von Escher zusammen. Für die Eigenschaften des Fermatschen Punkts im Dreieck wird ein physikalischer und ein anschaulicher geometrischer Beweis geführt. Für die Sätze von Viviani und von van Schooten im gleichseitigen Dreieck gibt es ebenfalls sehr anschauliche Beweise. Der neue Beweis von 2007 der Ungleichung von Erdös und Mordell ist sehr ungewöhnlich und es wert, genau angesehen zu werden.

Wolfgang Zeuge

Von Vierecken und Kreisen

Frontmatter

Kapitel 7. Vierecke

Zusammenfassung

Vierecke sind sehr viel vielfältiger als Dreiecke. Nach einer allgemeinen Übersicht über die wichtigsten Typen von konvexen Vierecken wird die Newtonsche Gerade im allgemeinen Viereck besprochen. Besonders wichtig sind die Sehnen- und Tangentenvierecke, die viele Anwendungen haben. Die Formel von Brahmagupta für die Flächen von Vierecken ist eine Verallgemeinerung der bekannten Heronschen Formel für Dreiecke. Der Satz von Ptolemäus hat eine bedeutende Rolle in der Geschichte der Geometrie und Astronomie gespielt, die hier vorgestellt wird. Sehnenvierecke führen zu einer interessanten lückenlosen Pflasterungen der Ebene. Die seltenen Sehnentangentenvierecke haben eine besonders einfache Flächenformel.

Wolfgang Zeuge

Kapitel 8. Kreissätze

Zusammenfassung

Neben den wichtigen Sätzen, wie den Sehnen- und Sekantensatz im Kreis und dem schönen Schmetterlingssatz bietet dieses Kapitel die lehrreiche Geschichte des Malfatti-Problems, bei dem erst nach über einhundert Jahren auffiel, das die ursprünglich angegebene Lösung nicht richtig ist. Kurven konstanter Breite kommen in der Praxis meist ungewollt vor, haben aber auch einige bewusste Anwendungen. Als Abschluss wird gotisches Maßwerk besprochen, dass man an vielen schönen alten und neueren Kirchen findet.

Wolfgang Zeuge

Kapitel 9. Rund um Schustermesser und Salzfass des Archimedes

Zusammenfassung

Das letzte Kapitel des Buches ist dem Arbelos (Schustermesser) und dem Salinon (Salzfass) gewidmet, die nach arabischen Quellen dem Archimedes zugeschrieben werden. Neben einigen seit altersher bekannten oder neuer Ergänzungen zu diesen Sätzen bietet der letzte Abschnitt eine vom Autor gefundene Verallgemeinerung, die entweder neu oder sehr unbekannt ist. Die Beweise zu dieser Verallgemeinerung sind mit den elementaren geometrischen Mitteln dieses Buches ausgeführt worden.

Wolfgang Zeuge

Backmatter

Titel: Nützliche und schöne Geometrie
verfasst von: Dr. Wolfgang Zeuge
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-63831-6
Print ISBN: 978-3-662-63830-9
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-63831-6