Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Dieses Buch bietet eine Einführung in Methoden zur praktischen Lösung mathematischer Probleme, wie der Bestimmung von Eigenwerten, der Approximation und Integration von Funktionen und der näherungsweisen Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen.

Vorausgesetzt werden nur Grundkenntnisse aus der linearen Algebra und Analysis sowie elementare Programmiererfahrungen. Lernziele, Tests zur Selbstüberprüfung und Anwendungsaufgaben am Ende jedes Kapitels vertiefen das Verständnis. Im Anhang des Buchs finden sich unter anderem eine umfangreiche Aufgabensammlung, detaillierte Beschreibungen für Programmierprojekte, Einführungen in die Programmiersprachen Matlab und C und einige Beispielprogramme.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Numerische lineare Algebra

Frontmatter

1. Grundlegende Konzepte

Die Numerik ist mit der praktischen Berechnung mathematischer Objekte wie Eigenwerten, Integralen oder Lösungen linearer Gleichungssysteme befasst. Diese Objekte sind im Allgemeinen nicht durch geschlossene Formeln darstellbar und müssen mit Hilfe geeigneter Verfahren approximiert werden. Zur Entwicklung effizienter Verfahren ist eine Beurteilung verschiedener Fehlerquellen erforderlich.

Sören Bartels

2. Operatornorm und Konditionszahl

Störungen der rechten Seite eines linearen Gleichungssystems führen auf Störungen der Lösung. Zur Quantifizierung dieses Effekts wird der Begriff der Operatornorm und der darauf basierende Begriff der Konditionszahl einer Matrix definiert.

Sören Bartels

3. Matrixfaktorisierungen

Lineare Gleichungssysteme lassen sich effizient lösen, wenn die Systemmatrix eine Dreiecksgestalt besitzt oder als Produkt von Dreiecksmatrizen vorliegt. Unter geeigneten Voraussetzungen an die Matrix können entsprechende Faktorisierungen explizit bestimmt werden.

Sören Bartels

4. Eliminationsverfahren

Die direkte praktische Umsetzung des Gaußschen Eliminationsverfahrens kann zu fehlerhaften Resultaten führen, wenn im Laufe der Berechnungen kleine Zahlen auftreten. Um dies zu vermeiden, müssen zusätzliche Zeilenvertauschungen durchgeführt werden. Das resultierende numerische Verfahren führt auf eine verallgemeinerte Faktorisierung in Dreiecksmatrizen.

Sören Bartels

5. Ausgleichsprobleme

Die wiederholte Durchführung eines Experiments zur Bestimmung eines physikalischen Zusammenhangs führt in der Regel auf ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem. Durch die Betrachtung eines damit verbundenen Ausgleichsproblems kann eine verallgemeinerte Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden. Die praktische Berechnung lässt sich effizient durch die Faktorisierung von Matrizen in eine Rotations- und eine Dreiecksmatrix durchführen.

Sören Bartels

6. Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse

Verallgemeinerte Lösungen überbestimmter linearer Gleichungssysteme lassen sich mit Hilfe der Pseudoinversen einer Matrix, die den Begriff der inversen Matrix auf singuläre und nichtquadratische Matrizen erweitert, darstellen. Zur Bestimmung der Pseudoinversen werden Eigenwerte einer assoziierten symmetrischen, positiv semidefiniten Matrix verwendet.

Sören Bartels

7. Das Simplex-Verfahren

Die Optimierung von Transport- oder Produktionskosten führt auf die Minimierung einer linearen Abbildung unter der Berücksichtigung gewisser Nebenbedingungen. Die exakte Bestimmung einer Lösung kann durch Betrachten der Ecken der zulässigen Menge erfolgen und führt auf die Konstruktion des Simplex-Verfahrens.

Sören Bartels

8. Eigenwertaufgaben

Die Bestimmung der Eigenwerte einer quadratischen Matrix ist ein anspruchsvolles mathematisches Problem, dessen sinnvolle Lösbarkeit nur unter Zusatzvoraussetzungen an die Matrix sichergestellt werden kann. Damit verbunden ist die effiziente approximative Berechnung von Eigenwerten.

Sören Bartels

9. Iterative Lösungsmethoden

Eine Verringerung des Aufwands der numerischen Lösung eines linearen Gleichungssystems lässt sich durch die approximative Lösung erzielen. Entsprechende Verfahren basieren auf der äquivalenten Darstellung des Gleichungssystems als Fixpunktgleichung. Die Konvergenz daraus resultierender iterativer Verfahren wird im Kontext des Banachschen Fixpunktsatzes und mittels geeigneter struktureller Voraussetzungen an die Systemmatrix untersucht.

Sören Bartels

Numerische Analysis

Frontmatter

10. Allgemeine Konditionszahl und Gleitkommazahlen

Mit Hilfe des Differenzials einer Abbildung lässt sich der Begriff der Konditionszahl auf allgemeine mathematische Aufgaben erweitern. Gleitkommazahlen definieren technisch realisierbare Teilmengen reeller Zahlen. Ihre besondere Anordnung garantiert, dass der relative Rundungsfehler uniform durch die sogenannte Maschinengenauigkeit beschränkt ist. Verschiedene Stabilitätsbegriffe für numerische Verfahren werden mit der Konditionszahl der zugrundeliegenden mathematischen Aufgabe in Verbindung gebracht.

Sören Bartels

11. Polynominterpolation

Ein Zugang zur näherungsweisen Darstellung von Funktionen auf Computern besteht in der Approximation mit Polynomen, die durch vorgegebene Interpolationspunkte verlaufen. Der dabei auftretende Approximationsfehler lässt sich mit Hilfe des Mittelwertsatzes darstellen und beschränken. Durch Hinzunahme weiterer Interpolationsbedingungen oder eine Optimierung der Wahl der Interpolationspunkte kann die Approximationsgüte verbessert werden.

Sören Bartels

12. Interpolation mit Splines

Um hohe Polynomgrade bei der Approximation von Funktionen durch Polynome zu vermeiden, wird der Definitionsbereich partitioniert. Geeignete Übergangsbedingungen an den Schnittstellen garantieren Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften der zusammengesetzten lokalen Interpolationspolynome.

Sören Bartels

13. Diskrete Fourier-Transformation

In der Realität auftretende Funktionen besitzen häufig besondere Eigenschaften, beispielsweise dass sie als Überlagerungen gewisser Grundschwingungen auftreten. Die diskrete Fourier-Transformation liefert eine Darstellung diskreter Signale als Kombination von Sinus-Schwingungen, was in vielen Fällen zu einer signifikanten Datenkompression führt. Eine geeignete Verwendung von Additionstheoremen erlaubt die Konstruktion eines schnellen numerischen Verfahrens zur Berechnung der Darstellung.

Sören Bartels

14. Numerische Integration

Die Konstruktion des Riemann-Integrals motiviert die numerische Approximation des Integrals einer Funktion durch eine Partitionierung des Integrationsbereichs und Auswertungen des Integranden an Punkten in den Teilintervallen. Geeignete Wahlen der Quadraturpunkte führen unter Differenzierbarkeitsannahmen an den Integranden zu schnell konvergenten numerischen Verfahren.

Sören Bartels

15. Nichtlineare Probleme

Nichtlineare Probleme treten bei der Nullstellensuche oder Minimierung einer gegebenen Funktion auf. In eindimensionalen Situationen führen Verallgemeinerungen des Bisektionsverfahrens auf numerische Approximationsmethoden. In mehrdimensionalen Situationen lassen sich Such- oder Abstiegsrichtungen durch Gradienten der Funktion konstruieren und führen auf das Newton- und Gradientenverfahren.

Sören Bartels

16. Methode der konjugierten Gradienten

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems lässt sich äquivalent als quadratisches Minimierungsproblem formulieren. Durch eine geeignete Modifikation der Abstiegsrichtung im Gradientenverfahren wird im Fall einer symmetrischen und positiv definiten Systemmatrix eine erhebliche Verbesserung der Konvergenzgeschwindigkeit nachgewiesen.

Sören Bartels

17. Dünnbesetzte Matrizen und Vorkonditionierung

In Anwendungen treten häufig lineare Gleichungssysteme mit vielen Unbekannten und nur wenigen von Null verschiedenen Einträgen in der Systemmatrix auf. In diesen Fällen lassen sich iterative Verfahren besonders effizient realisieren, sofern ein geeignetes komprimiertes Speicherformat für die Matrix verwendet wird. Lässt sich zudem eine einfache näherungsweise inverse Matrix konstruieren, so führt eine Erweiterung des Verfahrens der konjugierten Gradienten auf nahezu optimale numerische Methoden.

Sören Bartels

18. Mehrdimensionale Approximation

Die Konzepte der Interpolation eindimensionaler Funktionen lassen sich nur in besonderen Fällen auf Funktionen mehrerer Veränderlicher verallgemeinern. Ein flexibler Zugang besteht in der Partitionierung des Definitionsbereichs in Dreiecke oder Tetraeder und der Verwendung lokal polynomialer Funktionen.

Sören Bartels

Numerik gewöhnlicher Differenzialgleichungen

Frontmatter

19. Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Gewöhnliche Differenzialgleichungen eignen sich zur mathematischen Beschreibung zeitlich veränderlicher Vorgänge wie beispielsweise dem Verhalten von Populationszahlen, Schwingungsvorgängen oder der Wirkung von Beschleunigungskräften. Durch die Einführung von Hilfsvariablen können Differenzialgleichungen auf Systeme erster Ordnung reduziert werden. In einigen Spezialfällen lassen sich Lösungen explizit durch geschlossene Formeln angeben.

Sören Bartels

20. Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität

Die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen gewöhnlicher Differenzialgleichungen wird unter geeigneten Voraussetzungen an die Problemdaten im Rahmen des Satzes von Picard-Lindelöf mittels einer Fixpunktformulierung nachgewiesen. Eine Aussage über die Auswirkungen von Störungen der Daten liefert das Lemma von Gronwall.

Sören Bartels

21. Einschrittverfahren

Einfache Verfahren zur numerischen Approximation von Lösungen gewöhnlicher Differenzialgleichungen resultieren aus der Annäherung der Zeitableitung durch Differenzenquotienten oder allgemeiner durch die Verwendung geeigneter Taylor-Polynome. Eine Aussage über den Fehler der numerischen Lösung folgt aus Konsistenzeigenschaften eines Verfahrens mit Hilfe eines diskreten Gronwall-Lemmas.

Sören Bartels

22. Runge--Kutta-Verfahren

Runge-Kutta-Verfahren sind durch die Approximation der Integraldarstellung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung motiviert und definieren einen abstrakten Rahmen zur Konstruktion und Analyse von Einschrittverfahren.

Sören Bartels

23. Mehrschrittverfahren

Mehrschrittverfahren vermeiden eine hohe Anzahl von Funktionsauswertungen bei der Realisierung numerischer Verfahren durch die Hinzunahme mehrerer zurückliegender Zeitschritte und der zugehörigen bereits bestimmten Approximationen. Die für die höheren Konsistenzeigenschaften impliziter Verfahren erforderliche Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme in jedem Zeitschritt lässt sich durch eine geeignete Kombination mit expliziten Mehrschrittverfahren vermeiden.

Sören Bartels

24. Konvergenz von Mehrschrittverfahren

Im Gegensatz zu Einschrittverfahren ist für die asymptotische Konvergenz von Mehrschrittverfahren eine zusätzliche Stabilitätseigenschaft erforderlich, die die Beschränktheit von Approximationslösungen sicherstellt. Diese Bedingung lässt sich durch die Betrachtung der Eigenwerte der Begleitmatrix eines Mehrschrittverfahrens beurteilen.

Sören Bartels

25. Steife Differenzialgleichungen

Explizite numerische Verfahren zur Lösung linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen führen auf suboptimale Ergebnisse, wenn die Eigenwerte der Systemmatrix negativ sind und stark variieren. Der Begriff der Stabilitätsfunktion erlaubt eine Klassifizierung der Stabilitätseigenschaft numerischer Verfahren.

Sören Bartels

26. Schrittweitensteuerung

Besonders effiziente numerische Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen lassen sich durch die Verwendung variabler Schrittweiten konstruieren. Ansätze zur Anpassung der Schrittweiten basieren auf a-posteriori Fehlerabschätzungen und der Verwendung von Kontrollverfahren.

Sören Bartels

27. Symplektische, Schieß- und dG-Verfahren

Hamiltonsche Systeme sind spezielle gewöhnliche Differenzialgleichungen zur Beschreibung physikalischer Systeme, in denen Gesamtimpuls und -energie erhalten bleiben. Der Begriff des symplektischen Verfahrens definiert eine Klasse numerischer Verfahren, die diese Erhaltungseigenschaften approximativ erfüllen. Schießverfahren beschreiben Ansätze zur numerischen Lösung von Randwertproblemen mittels numerischer Verfahren für Anfangswertprobleme. Durch die Verwendung unstetiger Näherungslösungen lassen sich flexible numerische, sogenannte diskontinuierliche Galerkin-Verfahren konstruieren.

Sören Bartels

Aufgabensammlungen

Frontmatter

28. Aufgaben zur numerischen linearen Algebra

Zu jedem der neun Kapitel zur numerischen linearen Algebra werden zehn theoretische und einige praktische Aufgaben formuliert.

Sören Bartels

29. Aufgaben zur numerischen Analysis

Zu jedem der neun Kapitel zur numerischen Analysis werden zehn theoretische und einige praktische Aufgaben formuliert.

Sören Bartels

30. Aufgaben zur Numerik gewöhnlicher Differenzialgleichungen

Zu jedem der neun Kapitel zur Numerik gewöhnlicher Differenzialgleichungen werden zehn theoretische und einige praktische Aufgaben formuliert.

Sören Bartels

Anhänge

Frontmatter

31. Aussagen der linearen Algebra

Die wichtigsten Ergebnisse der linearen Algebra wie Skalarprodukt von Vektoren, Determinante einer Matrix, Bild und Kern einer linearen Abbildung, Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit sowie Jordansche Normalform werden zusammengefasst und mit Beispielen illustriert.

Sören Bartels

32. Aussagen der Analysis

Die wichtigsten Ergebnisse der Analysis wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Mittelwertsatz, Taylor-Polynome, Landau-Symbole, Fundamentalsatz und mehrdimensionale Differenzialrechnung werden zusammengefasst und mit Beispielen illustriert.

Sören Bartels

33. Einführung in C

Die wichtigsten Befehle und Konzepte der Programmiersprache C werden erklärt und mit Beispielen illustriert.

Sören Bartels

34. Einführung in Matlab

Die wichtigsten Befehle und Konzepte des Programmpakets Matlab werden erklärt und mit Beispielen illustriert.

Sören Bartels

35. Beispielprogramme in Matlab und C

Für die Lösung eines linearen Gleichungssystems mittels einer LU-Zerlegung, die Auswertung eines Interpolationspolynoms durch das Neville-Schema und die numerische Lösung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung mit dem impliziten Euler-Verfahren werden Implementationen in C und Matlab vorgestellt.

Sören Bartels

Backmatter

Weitere Informationen

Premium Partner

BranchenIndex Online

Die B2B-Firmensuche für Industrie und Wirtschaft: Kostenfrei in Firmenprofilen nach Lieferanten, Herstellern, Dienstleistern und Händlern recherchieren.

Whitepaper

- ANZEIGE -

Best Practices für die Mitarbeiter-Partizipation in der Produktentwicklung

Unternehmen haben das Innovationspotenzial der eigenen Mitarbeiter auch außerhalb der F&E-Abteilung erkannt. Viele Initiativen zur Partizipation scheitern in der Praxis jedoch häufig. Lesen Sie hier  - basierend auf einer qualitativ-explorativen Expertenstudie - mehr über die wesentlichen Problemfelder der mitarbeiterzentrierten Produktentwicklung und profitieren Sie von konkreten Handlungsempfehlungen aus der Praxis.
Jetzt gratis downloaden!

Bildnachweise