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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch wendet sich hauptsächlich an Studierende der Ingenieur- und Naturwissenschaften sowie der Informatik, aber auch an in der angewandten Praxis tätige Absolventen dieser Disziplinen.

Es wird ein weites Spektrum von verschiedenen Themenfeldern behandelt, von der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme über Eigenwertprobleme, numerische Integration bis hin zu gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen. Dabei werden jeweils die Methoden diskutiert, die den spezifischen Anforderungen typischer Aufgabenstellungen in der Praxis entsprechen.

Der Autor stellt die Themen in einer Weise dar, die sowohl den wesentlichen mathematischen Hintergrund klarmacht, als auch eine unkomplizierte Umsetzung auf praktische Aufgabenstellungen bzw. die Realisierung auf dem Computer ermöglicht.

Vorausgesetzt werden beim Leser lediglich Grundkenntnisse in der Höheren Mathematik, wie sie im Grundstudium für die genannten Fachrichtungen vermittelt werden, wobei einige wichtige Aussagen aus Analysis und linearer Algebra wiederholt werden.

Zu den behandelten Methoden werden octave-Programme angegeben und zum Download angeboten, so dass der Leser in die Lage versetzt wird, konkrete Aufgabenstellungen zu bearbeiten. Mehr als 60 Übungsaufgaben mit Lösungen im Internet erleichtern die Aneignung des Lernstoffes.

Die vorliegende 3. Auflage ist vollständig durchgesehen und um ein Kapitel zur numerischen Lösung stochastischer Differentialgleichungen ergänzt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einführung

Zusammenfassung
Seit der Antike ist bekannt, dass z. B. \(\sqrt{2}\) keine rationale Zahl ist. Man hat keine Chance, \(\sqrt{2}\) als Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen darzustellen. Selbst rationale Zahlen wie z. B. \(\frac{1}{3}\) kann man auf Rechnern nicht exakt darstellen, da jeder Rechner nur endlich viele Stellen zur Zahldarstellung zur Verfügung hat. Bei vielen angewandten Aufgabenstellungen hat man es mit fehlerbehafteten Ausgangsgrössen oder Zwischenergebnissen zu tun und interessiert sich für die Auswirkung auf das eigentliche Ziel der Rechnung, das Endergebnis. In diesem Kapitel sollen typische numerische Fehler und ihre mögliche Kontrolle erläutert werden.
Günter Bärwolff

2. Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Zusammenfassung
Bei vielen mathematischen Aufgabenstellungen ist es erforderlich, lineare Gleichungssysteme zu lösen. Zum einen führen lineare Modelle oft direkt auf lineare Gleichungssysteme und bei vielen nichtlinearen Aufgabenstellungen kann die Lösung oft durch das sukzessive Lösen linearer Gleichungssysteme erhalten werden. Bei der Analyse und Anpassung von experimentellen Daten an multilineare Gesetze sind letztendlich lineare Gleichungssysteme zu lösen. Im folgenden Kapitel soll das Hauptaugenmerk auf direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme gerichtet sein.
Günter Bärwolff

3. Überbestimmte lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung
Bei der Auswertung von Experimenten oder Messungen in den unterschiedlichsten Disziplinen entsteht oft die Aufgabe, funktionale Beziehungen zu ermitteln, die die experimentellen Daten bzw. die Beziehung zwischen Einflussgrößen und Zielgrößen möglichst gut beschreiben. Hat man nur 2 Messpunkte, dann ist dadurch eine Gerade eindeutig festgelegt, bei 3 Messpunkten eine Parabel usw. Allerdings erhält man in der Regel mehr oder weniger streuende Punktwolken, durch die man Geraden, Parabeln oder andere analytisch fassbare Kurven möglichst so legen möchte, dass die Messpunkte gut angenähert werden. Solche auch Ausgleichsprobleme genannte Aufgaben führen in der Regel auf die Behandlung überbestimmter, nicht exakt lösbarer linearer Gleichungssysteme. Im Folgenden werden die mathematischen Instrumente zur Lösung von Ausgleichsproblemen bereitgestellt.
Günter Bärwolff

4. Matrix-Eigenwertprobleme

Zusammenfassung
In vielen natur- und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen sind Eigenwertwertprobleme zu lösen. Zum Beispiel bei der Bestimmung von Eigenschwingungen von Bauwerken, zur Ermittlung von stabilen statischen Konstruktionen und bei der Lösung von Differentialgleichungen sind Eigenwerte zu berechnen. Aber auch bei der Berechnung des Spektralradius bzw. der Norm einer Matrix sind Eigenwerte erforderlich. Bei der Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren werden wir die Ergebnisse des vorangegangenen Kapitels, speziell die QR-Zerlegung einer Matrix, als wichtiges Hilfsmittel nutzen können.
Günter Bärwolff

5. Interpolation und numerische Differentiation

Zusammenfassung
Bei der Interpolation von Messwerten oder auch Funktionswerten geht es im Unterschied zur Ausgleichsrechnung darum, Kurven zu ermitteln, auf denen vorgegebene Punkte liegen sollen. Es geht i.Allg. darum, zu \(n+1\) Stützpunkten \((x_k ,y_k)\) eine stetige Funktion f(x) zu finden, so dass die vorgegebenen Punkte auf dem Graphen liegen, d. h. \(y_k = f(x_k)\) für \(k=0,\dots ,n\) gilt. Die Interpolation ist eine Möglichkeit, um aus „weit“ auseinander liegenden Messpunkten auch Informationen dazwischen zu erhalten. Bei komplizierten, aufwendig zu berechnenden Funktionsverläufen oder Stammfunktionen ist oft die Approximation durch eine Interpolationsfunktion Grundlage für eine effektive näherungsweise Problemlösung.
Günter Bärwolff

6. Numerische Integration

Zusammenfassung
Die analytische Bestimmung einer Stammfunktion und die damit gegebene einfache Möglichkeit der numerischen Berechnung von bestimmten Integralen ist manchmal sehr aufwendig und oft sogar unmöglich. In solchen Fällen kann man eine näherungsweise Berechnung der Integrale auf numerischem Weg vornehmen. Auch im Fall der Vorgabe von Funktionen in Tabellenform (z. B. Ergebnisse einer Messreihe) kann keine analytische Integration durchgeführt werden. In beiden Fällen ist es möglich, den Integranden als Wertetabelle der Form \((x_0 , y_0),(x_1 ,y_1),\dots ,(x_n ,y_n)\) vorzugeben. Auf der Basis der Interpolation von Funktionen bzw. allgemein vorgegebenen Stützpunkten werden Methoden zur numerischen Integration dargestellt.
Günter Bärwolff

7. Iterative Verfahren zur Lösung von Gleichungen

Zusammenfassung
Viele Probleme der angewandten Mathematik münden in der Aufgabe, Gleichungen der Art \(f(x) = 0\) lösen, wobei \(f:D \rightarrow \mathbb {R}\) eine nichtlineare, reellwertige Funktion war. Sowohl bei der Berechnung von Nullstellen von Polynomen oder der Auswertung von notwendigen Bedingungen für Extremalprobleme kann man die in der Regel nichtlinearen Gleichungen nur lösen, wenn man Glück hat bzw. weil Beispiele geschickt gewählt wurden. In der Regel ist es nicht möglich, die Lösungen in Form von geschlossenen analytischen Ausdrücken exakt auszurechnen. In den meisten Fällen ist es allerdings möglich, Lösungen als Grenzwerte von Iterationsfolgen numerisch zu berechnen. In Ergänzung zu den Aufgabenstellungen in der ersten und zweiten Auflage dieses Buches werden hier Gauß-Newton-, SQP- und Abstiegsverfahren zusätzlich behandelt.
Günter Bärwolff

8. Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

Zusammenfassung
In vielen Bereichen der Ingenieur- und Naturwissenschaften, aber auch in den Sozialwissenschaften und der Medizin erhält man im Ergebnis von mathematischen Modellierungen Gleichungen, in denen neben der gesuchten Funktion einer Veränderlichen auch deren Ableitungen vorkommen. Beispiele für das Auftreten solcher Gleichungen sind Steuerung von Raketen und Satelliten in der Luft- und Raumfahrt, chemische Reaktionen in der Verfahrenstechnik und Steuerung der automatischen Produktion im Rahmen der Robotertechnik. Da man die Lösungen der Differentialgleichungen in der Regel nicht geschlossen analytisch bestimmen kann, ist man auf numerische Lösungsmethoden angewiesen. Bei den oben genannten Anwendungen in der Raumfahrt oder der chemischen Reaktionskinetik werden gewöhnliche Differentialgleichungen numerisch gelöst, wobei die besondere Herausforderung darin besteht, unterschiedlich schnell ablaufende Teilprozesse genau zu erfassen.
Günter Bärwolff

9. Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Gleichungen, die partielle Ableitungen von Funktionen mehrerer Veränderlicher enthalten, nennt man partielle Differentialgleichungen. Als Beispiele seien die Schwingungs- oder Wellengleichung, die Wärmeleitungsgleichung, die Maxwell’schen Gleichungen oder die Schrödingergleichung genannt. Im Folgenden sollen einige typische numerische Lösungsmethoden sowie deren funktionalanalytische Grundlagen dargelegt werden, die in der Physik, Struktur- und Strömungsmechanik Anwendung finden. Dabei wird einmal mit der Bilanzmethode ein heuristischer Weg und mit dem Galerkin-Verfahren bzw. der Finite-Element-Methode ein funktionalanalytischer Zugang beschritten.
Günter Bärwolff

10. Numerische Lösung stochastischer Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Oftmals gibt es in mathematischen Modellen mit Differentialgleichungen zufällige Störungen, die durch Zufallsvariable beschrieben werden. In diesen Fällen spricht man von stochastischen Differentialgleichungen. Der Zufall kann sowohl als Term in der Differentialgleichung in Form von „verrauschten“ Koeffizienten, als auch in zufällig gestörten Anfangs- und Randbedingungen auftreten. Im Unterschied zu den nicht-stochastischen, also deterministischen Differentialgleichungen, muss man den Begriff der Lösung einer stochastischen Differentialgleichung unter dem Aspekt des Zufalls definieren. Die Lösungen sind im Allg. zufallsabhängige Größen. Um solche Gleichungen vernünftig interpretieren zu können, werden im Folgenden die erforderlichen Begriffe und Instrumente aus der Stochastik erarbeitet. Einige zum Verständnis des Themas „stochastische Differentialgleichungen“ hilfreiche elementare Grundlagen der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie werden in einem Anhang dargelegt. Dort können die im Folgenden verwendeten Begriffe und Eigenschaften bei Bedarf nachgelesen werden.
Günter Bärwolff

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