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2022 | Buch

Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker

verfasst von: Günter Bärwolff, Caren Tischendorf

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch wendet sich hauptsächlich an Studierende der Ingenieur- und Naturwissenschaften sowie der Informatik, aber auch an in der angewandten Praxis tätige Absolventen dieser Disziplinen.

Es wird ein weites Spektrum von verschiedenen Themenfeldern behandelt, von der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme über Eigenwertprobleme, numerische Integration bis hin zu gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen. Dabei werden jeweils die Methoden diskutiert, die den spezifischen Anforderungen typischer Aufgabenstellungen in der Praxis entsprechen.

Die Autoren stellen die Themen in einer Weise dar, die sowohl den wesentlichen mathematischen Hintergrund klarmacht, als auch eine unkomplizierte Umsetzung auf praktische Aufgabenstellungen bzw. die Realisierung auf dem Computer ermöglicht.

Vorausgesetzt werden lediglich Grundkenntnisse in der Höheren Mathematik, wie sie im Grundstudium für die genannten Fachrichtungen vermittelt werden, wobei einige wichtige Aussagen aus Analysis und linearer Algebra wiederholt werden.

Zu den behandelten Methoden werden Octave/Matlab- und Python-Programme angegeben und zum Download angeboten, so dass der Leser in die Lage versetzt wird, konkrete Aufgabenstellungen zu bearbeiten. Mehr als 60 Übungsaufgaben mit Lösungen im Internet erleichtern die Aneignung des Lernstoffes.

Die vorliegende 4. Auflage ist vollständig durchgesehen und um das Thema differential-algebraische Gleichungen erweitert.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Einführung
Zusammenfassung
Numerische Rechnungen sind in der Regel mit Fehlern behaftet. Seit der Antike ist bekannt, dass z. B. \(\sqrt{2}\) keine rationale Zahl ist. Man hat keine Chance, \(\sqrt{2}\) als Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen darzustellen. Selbst rationale Zahlen wie z. B. \(\frac{1}{3}\) kann man auf Rechnern nicht exakt darstellen, da jeder Rechner nur endlich viele Stellen zur Zahldarstellung zur Verfügung hat.
Günter Bärwolff, Caren Tischendorf
Kapitel 2. Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Bei vielen mathematischen Aufgabenstellungen ist es erforderlich, lineare Gleichungssysteme zu lösen. Zum einen führen lineare Modelle oft direkt auf lineare Gleichungssysteme und bei vielen nichtlinearen Aufgabenstellungen kann die Lösung oft durch das sukzessive Lösen linearer Gleichungssysteme erhalten werden. Bei der Analyse und Anpassung von experimentellen Daten an multilineare Gesetze sind letztendlich lineare Gleichungssysteme zu lösen.
Günter Bärwolff, Caren Tischendorf
Kapitel 3. Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Bei der Auswertung von Experimenten oder Messungen in den unterschiedlichsten Disziplinen entsteht oft die Aufgabe, funktionale Beziehungen zu ermitteln, die die experimentellen Daten bzw. die Beziehung zwischen Einflussgrößen und Zielgrößen möglichst gut beschreiben. Hat man nur 2 Messpunkte, dann ist dadurch eine Gerade eindeutig festgelegt, bei 3 Messpunkten eine Parabel usw.
Günter Bärwolff, Caren Tischendorf
Kapitel 4. Matrix-Eigenwertprobleme
Zusammenfassung
In vielen natur- und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen sind Eigenwertwertprobleme zu lösen. Zur Bestimmung von Eigenschwingungen von Bauwerken oder zur Ermittlung von stabilen statischen Konstruktionen sind Eigenwerte zu berechnen. Aber auch bei der Berechnung des Spektralradius bzw. der Norm einer Matrix sind Eigenwerte erforderlich.
Günter Bärwolff, Caren Tischendorf
Kapitel 5. Interpolation und numerische Differentiation
Zusammenfassung
Im Kap. 3 ging es darum, Kurven so durch Punktwolken zu legen, dass die Punkte in gewissem Sinn einen minimalen Abstand zur Kurve haben. In der Regel war es allerdings nicht möglich, alle Punkte mit der Kurve zu treffen.
Günter Bärwolff, Caren Tischendorf
Kapitel 6. Numerische Integration
Zusammenfassung
Die analytische Bestimmung einer Stammfunktion und die damit gegebene einfache Möglichkeit der numerischen Berechnung von bestimmten Integralen ist manchmal sehr aufwendig und oft sogar unmöglich.
Günter Bärwolff, Caren Tischendorf
Kapitel 7. Iterative Verfahren zur Lösung von Gleichungen
Zusammenfassung
Viele Probleme der angewandten Mathematik münden in der Aufgabe, Gleichungen der Art
Günter Bärwolff, Caren Tischendorf
Kapitel 8. Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
Zusammenfassung
In vielen Bereichen der Ingenieur- und Naturwissenschaften, aber auch in den Sozialwissenschaften und der Medizin erhält man im Ergebnis von mathematischen Modellierungen Gleichungen, in denen neben der gesuchten Funktion einer Veränderlichen auch deren Ableitungen vorkommen. Beispiele für das Auftreten solcher Gleichungen sind Steuerung von Raketen und Satelliten in der Luft- und Raumfahrt, chemische Reaktionen in der Verfahrenstechnik, Steuerung der automatischen Produktion im Rahmen der Robotertechnik und in der Gerichtsmedizin die Bestimmung des Todeszeitpunktes bei Gewaltverbrechen.
Günter Bärwolff, Caren Tischendorf
Kapitel 9. Lösung differential-algebraischer Gleichungen
Zusammenfassung
Wie bereits in Kap. 8 dargestellt wurde, dienen gewöhnliche Differentialgleichungen der Beschreibung dynamischer Prozesse. In einer Reihe von Anwendungen unterliegen solche Prozesse noch zusätzlichen Beschränkungen. Ein Beispiel hierfür ist die Bewegung eines Industrieroboters. Die einzelnen Segmente sind durch Gelenke miteinander verbunden und können sich daher nicht beliebig frei im Raum bewegen. Als weiteres Beispiel sei der Stromfluss in einer elektrischen Schaltung genannt. Die Summe der an einem Knoten zusammenfließenden Zweigströme ist (unter Beachtung der Vorzeichen) gleich null. Die Zweigströme sind also nicht unabhängig voneinander. Solche Vorgänge lassen sich mit Hilfe differential-algebraischer Gleichungen beschreiben.
Günter Bärwolff, Caren Tischendorf
Kapitel 10. Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Zusammenfassung
Gleichungen, die partielle Ableitungen von Funktionen mehrerer Veränderlicher enthalten, nennt man partielle Differentialgleichungen. Als Beispiele seien die Schwingungs- oder Wellengleichung, die Wärmeleitungsgleichung, die Maxwell’schen Gleichungen oder die Schrödingergleichung genannt.
Günter Bärwolff, Caren Tischendorf
Kapitel 11. Numerische Lösung stochastischer Differentialgleichungen
Zusammenfassung
In den vorangegangenen Kapiteln wurden Lösungsmethoden von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen behandelt. Dabei waren die Differentialgleichungen deterministisch bestimmt, d. h. als Koeffizienten, Terme, Anfangs- und Randbedingungen waren Konstanten bzw. Funktionen fest vorgegeben.
Günter Bärwolff, Caren Tischendorf
Backmatter
Metadaten
Titel
Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker
verfasst von
Günter Bärwolff
Caren Tischendorf
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-65214-5
Print ISBN
978-3-662-65213-8
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65214-5

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