Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker | springerprofessional.de

Springer Professional

nach oben

2022 | Buch

Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker

verfasst von: Günter Bärwolff, Caren Tischendorf

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Einloggen, um Zugang zu erhalten

Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch wendet sich hauptsächlich an Studierende der Ingenieur- und Naturwissenschaften sowie der Informatik, aber auch an in der angewandten Praxis tätige Absolventen dieser Disziplinen.

Es wird ein weites Spektrum von verschiedenen Themenfeldern behandelt, von der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme über Eigenwertprobleme, numerische Integration bis hin zu gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen. Dabei werden jeweils die Methoden diskutiert, die den spezifischen Anforderungen typischer Aufgabenstellungen in der Praxis entsprechen.

Die Autoren stellen die Themen in einer Weise dar, die sowohl den wesentlichen mathematischen Hintergrund klarmacht, als auch eine unkomplizierte Umsetzung auf praktische Aufgabenstellungen bzw. die Realisierung auf dem Computer ermöglicht.

Vorausgesetzt werden lediglich Grundkenntnisse in der Höheren Mathematik, wie sie im Grundstudium für die genannten Fachrichtungen vermittelt werden, wobei einige wichtige Aussagen aus Analysis und linearer Algebra wiederholt werden.

Zu den behandelten Methoden werden Octave/Matlab- und Python-Programme angegeben und zum Download angeboten, so dass der Leser in die Lage versetzt wird, konkrete Aufgabenstellungen zu bearbeiten. Mehr als 60 Übungsaufgaben mit Lösungen im Internet erleichtern die Aneignung des Lernstoffes.

Die vorliegende 4. Auflage ist vollständig durchgesehen und um das Thema differential-algebraische Gleichungen erweitert.

Anzeige

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einführung

Zusammenfassung

Numerische Rechnungen sind in der Regel mit Fehlern behaftet. Seit der Antike ist bekannt, dass z. B. \(\sqrt{2}\) keine rationale Zahl ist. Man hat keine Chance, \(\sqrt{2}\) als Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen darzustellen. Selbst rationale Zahlen wie z. B. \(\frac{1}{3}\) kann man auf Rechnern nicht exakt darstellen, da jeder Rechner nur endlich viele Stellen zur Zahldarstellung zur Verfügung hat.

Günter Bärwolff, Caren Tischendorf

Kapitel 2. Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Bei vielen mathematischen Aufgabenstellungen ist es erforderlich, lineare Gleichungssysteme zu lösen. Zum einen führen lineare Modelle oft direkt auf lineare Gleichungssysteme und bei vielen nichtlinearen Aufgabenstellungen kann die Lösung oft durch das sukzessive Lösen linearer Gleichungssysteme erhalten werden. Bei der Analyse und Anpassung von experimentellen Daten an multilineare Gesetze sind letztendlich lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Günter Bärwolff, Caren Tischendorf

Kapitel 3. Überbestimmte lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Bei der Auswertung von Experimenten oder Messungen in den unterschiedlichsten Disziplinen entsteht oft die Aufgabe, funktionale Beziehungen zu ermitteln, die die experimentellen Daten bzw. die Beziehung zwischen Einflussgrößen und Zielgrößen möglichst gut beschreiben. Hat man nur 2 Messpunkte, dann ist dadurch eine Gerade eindeutig festgelegt, bei 3 Messpunkten eine Parabel usw.

Günter Bärwolff, Caren Tischendorf

Kapitel 4. Matrix-Eigenwertprobleme

Zusammenfassung

In vielen natur- und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen sind Eigenwertwertprobleme zu lösen. Zur Bestimmung von Eigenschwingungen von Bauwerken oder zur Ermittlung von stabilen statischen Konstruktionen sind Eigenwerte zu berechnen. Aber auch bei der Berechnung des Spektralradius bzw. der Norm einer Matrix sind Eigenwerte erforderlich.

Günter Bärwolff, Caren Tischendorf

Kapitel 5. Interpolation und numerische Differentiation

Zusammenfassung

Im Kap. 3 ging es darum, Kurven so durch Punktwolken zu legen, dass die Punkte in gewissem Sinn einen minimalen Abstand zur Kurve haben. In der Regel war es allerdings nicht möglich, alle Punkte mit der Kurve zu treffen.

Günter Bärwolff, Caren Tischendorf

Kapitel 6. Numerische Integration

Zusammenfassung

Die analytische Bestimmung einer Stammfunktion und die damit gegebene einfache Möglichkeit der numerischen Berechnung von bestimmten Integralen ist manchmal sehr aufwendig und oft sogar unmöglich.

Günter Bärwolff, Caren Tischendorf

Kapitel 7. Iterative Verfahren zur Lösung von Gleichungen

Zusammenfassung

Viele Probleme der angewandten Mathematik münden in der Aufgabe, Gleichungen der Art

Günter Bärwolff, Caren Tischendorf

Kapitel 8. Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

Zusammenfassung

In vielen Bereichen der Ingenieur- und Naturwissenschaften, aber auch in den Sozialwissenschaften und der Medizin erhält man im Ergebnis von mathematischen Modellierungen Gleichungen, in denen neben der gesuchten Funktion einer Veränderlichen auch deren Ableitungen vorkommen. Beispiele für das Auftreten solcher Gleichungen sind Steuerung von Raketen und Satelliten in der Luft- und Raumfahrt, chemische Reaktionen in der Verfahrenstechnik, Steuerung der automatischen Produktion im Rahmen der Robotertechnik und in der Gerichtsmedizin die Bestimmung des Todeszeitpunktes bei Gewaltverbrechen.

Günter Bärwolff, Caren Tischendorf

Kapitel 9. Lösung differential-algebraischer Gleichungen

Zusammenfassung

Wie bereits in Kap. 8 dargestellt wurde, dienen gewöhnliche Differentialgleichungen der Beschreibung dynamischer Prozesse. In einer Reihe von Anwendungen unterliegen solche Prozesse noch zusätzlichen Beschränkungen. Ein Beispiel hierfür ist die Bewegung eines Industrieroboters. Die einzelnen Segmente sind durch Gelenke miteinander verbunden und können sich daher nicht beliebig frei im Raum bewegen. Als weiteres Beispiel sei der Stromfluss in einer elektrischen Schaltung genannt. Die Summe der an einem Knoten zusammenfließenden Zweigströme ist (unter Beachtung der Vorzeichen) gleich null. Die Zweigströme sind also nicht unabhängig voneinander. Solche Vorgänge lassen sich mit Hilfe differential-algebraischer Gleichungen beschreiben.

Günter Bärwolff, Caren Tischendorf

Kapitel 10. Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Gleichungen, die partielle Ableitungen von Funktionen mehrerer Veränderlicher enthalten, nennt man partielle Differentialgleichungen. Als Beispiele seien die Schwingungs- oder Wellengleichung, die Wärmeleitungsgleichung, die Maxwell’schen Gleichungen oder die Schrödingergleichung genannt.

Günter Bärwolff, Caren Tischendorf

Kapitel 11. Numerische Lösung stochastischer Differentialgleichungen

Zusammenfassung

In den vorangegangenen Kapiteln wurden Lösungsmethoden von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen behandelt. Dabei waren die Differentialgleichungen deterministisch bestimmt, d. h. als Koeffizienten, Terme, Anfangs- und Randbedingungen waren Konstanten bzw. Funktionen fest vorgegeben.

Günter Bärwolff, Caren Tischendorf

Backmatter

Titel: Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker
verfasst von: Günter Bärwolff
Caren Tischendorf
Copyright-Jahr: 2022
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-65214-5
Print ISBN: 978-3-662-65213-8
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-65214-5

Weitere Formate
Fachgebiete
Bücher
Zeitschriften
Themenseiten
Jetzt Einzelzugang starten
Zugang für Unternehmen
Referenzkunden
SLX-Digitalkonferenz: Zukunftswerkstatt 2024