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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einführung

Zusammenfassung
Wir wollen uns mit den mathematischen Grundproblemen beschäftigen, die in einem Numerikkurs normalerweise behandelt werden. Dabei sollen die mathematischen Probleme, die numerischen Algorithmen zu ihrer Lösung, Softwareroutinen zu deren Realisierung und schließlich von uns erstellte Programme, die diese Routinen mit einem Dialog zur Ein- und Ausgabe ummanteln, beschrieben werden.
Norbert Köckler

1. Lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung
Lineare Gleichungssysteme sind das häufigste Endprodukt von Lösungsverfahren der numerischen Mathematik zu linearen Anwendungsproblemen aus allen technischen und wissenschaftlichen Bereichen. Zu ihrer numerischen Lösung stehen dementsprechend viele Verfahren zur Verfügung, deren Wahl von den Eigenschaften der zugehörigen Matrizen abhängt wie:
  • Regulär quadratisch
  • Symmetrisch und positiv-definit (SPD)
  • Bandstrukturiert
  • Sehr groß mit nur wenigen Elementen ≠ 0, kurz: dünn besetzt
  • Singulär oder nicht quadratisch
Grob kann man zwei Verfahrensklassen unterscheiden:
  • Die direkten Methoden, die das lineare Gleichungssystem in endlich vielen Rechenschritten exakt lösen würden, wenn es keine Rundungsfehler gäbe.
  • Die iterativen Methoden, die für große, dünn besetzte Matrizen Gleichungssysteme wichtig sind und deshalb hauptsächlich im Zusammenhang mit der Lösung von partiellen Differentialgleichungen angewendet werden.
Norbert Köckler

2. Lineare Optimierung

Zusammenfassung
Optimierung ist ein eigenständiges Gebiet der angewandten Mathematik. Es beschäftigt sich mit der Minimierung und Maximierimg von Funktionen mit oder ohne Nebenbedingungen und hat viele unterschiedliche Anwendungen. Ein großer Teil dieser Anwendungen liegt in den Wirtschaftswissenschaften, dort innerhalb des Gebietes Operations Research. Dementsprechend gibt es zur Optimierung eigene Softwarepakete bzw. Abschnitte in Softwarepaketen zu wirtschaftswissenschaftlichen Problemen. Trotzdem wird die Lösung einfacher Optimierungsprobleme auch in vielen Lehrbüchern der numerischen Mathematik behandelt. In den großen mathematischen Softwarepaketen findet man immer auch ein Kapitel über Optimierung. Bei NAG sind dies 46 Routinen in Abschnitt E04 und 2 Routinen zur ganzzahligen Optimierung in Kapitel H. Bei IMSL sind es 32 Routinen in Kapitel 8.
Norbert Köckler

3. Interpolation und Approximation

Zusammenfassung
Dieses umfangreiche Kapitel soll die unterschiedlichen Möglichkeiten beschreiben, mit denen Funktionen oder Datentabellen durch einfache Funktionen in geschlossener Form angenähert werden können.
Norbert Köckler

4. Nichtlineare Gleichungen

Zusammenfassung
Eines der Grandprobleme der Mathematik, dem wir schon in der Schule begegnen, ist die Bestimmung von Nullstellen einer gegebenen Funktion.
Norbert Köckler

5. Eigenwertprobleme

Zusammenfassung
Werden charakteristische Eigenschaften natürlicher Systeme untersucht, so muß mathematisch in der Regel ein Eigenwertproblem gelöst werden. Die Eigenfrequenzen eines schwingenden Systems sind z.B. Eigenwerte einer Differentialgleichung. Wird die Differentialgleichung diskretisiert, so entsteht eines der Matrix-Eigen Wertprobleme, mit denen wir uns in diesem Kapitel beschäftigen wollen.
Norbert Köckler

6. Numerische Integration

Zusammenfassung
Integralberechnungen sind meistens Teil einer umfassenderen mathematischen Problemstellung. Dabei sind die auftretenden Integrationen oft nicht analytisch ausführbar, oder ihre analytische Durchführung stellt im Rahmen der Gesamt aufgabe eine praktische Schwierigkeit dar. In solchen Fällen wird der zu berechnende Integralausdruck angenähert ausgewertet durch numerische Integration, die auch numerische Quadratur genannt wird.
Norbert Köckler

7. Anfangswertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Gewöhnliche Differentialgleichungen sind Gleichungssysteme für Funktionen von einer unabhängigen Variablen, in denen die unbekannten Funktionen und ihre Ableitungen bis zu einer bestimmten Ordnung vorkommen.
Norbert Köckler

8. Rand- und Eigenwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Für Rand- und Eigenwertprobleme gibt es keine so einheitliche Theorie wie für Anfangswertaufgaben, obwohl auch sie in den Anwendungen eine bedeutende Rolle spielen. Da kann es sogar passieren, daß ein Anwendungsproblem numerisch gelöst werden muß, ohne daß die theoretische Frage nach Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung positiv beantwortet werden kann.
Norbert Köckler

9. Partielle Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Partielle Differentialgleichungen gehören zu den wichtigsten Anwendungen der Mathematik in Naturwissenschaft und Technik. Entsprechend wichtig ist die Behandlung der numerischen Verfahren zu ihrer Lösung. Trotzdem soll ihnen hier nur ein kurzes Kapitel gewidmet werden, weil allein die Behandlung der wichtigsten Algorithmen einen eigenen Band füllen könnte. Dasselbe gilt für die Softwaresysteme, die zur Lösung partieller Differentialgleichungen erhältlich sind.
Norbert Köckler

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