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Über dieses Buch

Das Lehrbuch vermittelt die Herleitung numerischer Algorithmen zur Lösung von Differenzialgleichungen und gibt einen Einblick in die praktische Implementierung.

Anhand von Beispielen und Übungsaufgaben mit Problemstellungen aus dem Ingenieurbereich werden Eigenschaften und Einsatzbereiche der verschiedenen Verfahren erläutert. Für die Beispiele und Aufgaben stehen MAPLE-Worksheets und MATLAB-Scripte zur Verfügung, die von der Webseite www.imathonline.de/revokos/ heruntergeladen werden können. Hat man MAPLE oder MATLAB zur Verfügung, können die Ergebnisse der Beispiele und Aufgaben nachvollzogen oder auch Änderungen in den Programmen ausgeführt werden.

Die vierte Auflage liegt nun in durchgesehener und verbesserter Version vor, die Worksheets wurden an die aktuelle Version von MAPLE angepasst, die MATLAB-Scripte wurden neu mit aufgenommen.

Das Buch wendet sich an Studierende in allen Ingenieurfächern und in den Naturwissenschaften.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Im ersten Kapitel wird der Aufbau des Buches beschrieben. Die Arbeitsschritte bei der numerischen Behandlung von Differenzialgleichungen und der numerischen Simulation eines praktischen Problems benötigen mehrere Bausteine: Ein geeignetes numerisches Verfahren, welches als Algorithmus formuliert wird, sodass es in ein Rechenprogramm umgesetzt und auf das Problem angewandt werden. Diese verschiedenen Schritte werden in diesem Buch beschrieben, wobei für die eigene Berechnung der Beispiele MAPLE Worksheets und MATLAB Scripts von der Webseite heruntergeladen werden können. Das Arbeiten mit diesen Programmen im Rahmen dieses Buches wird erläutert. Zum besseren Verständnis der Programmierung werden Struktogramme benutzt, deren Aufbau in Kapitel 1 erklärt wird. Ebenso wird der Zusammenhang zwischen Modellierungs-, Approximations- und Rundungsfehler beschrieben.
Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann

2. Numerische Integration und Differenziation

Die Approximation bestimmter Integrale tritt bei der numerischen Simulation von praktischen Ingenieurproblemen häufig auf. Auch die Lösung der einfachsten Differenzialgleichungen, bei denen die rechte Seite nicht von der gesuchten Funktion abhängt, führt auf die Berechnung eines bestimmten Integrals. Eine exakte Integration durch die Angabe einer Stammfunktion ist für viele Anwendungen nicht möglich oder auch zu aufwändig. Die numerische Integration oder Quadratur ist für ein Buch über die numerische Lösung von Differenzialgleichungen somit ein guter Startpunkt. Die Approximation von Ableitungen, die numerische Differenziation, ist ebenso ein Hilfsmittel für die numerische Behandlung von Differenzialgleichungen. Es werden in diesem Kapitel 2 schon grundlegende Techniken der numerischen Approximation eingeführt. Dies ist die Diskretisierung des Rechenintervalls in Teilintervalle und die Approximation des Integranden durch ein Interpolationspolynom. Es werden die Newton-Cotes Formeln und die Gaußquadratur eingeführt. Zur näherungsweisen Differenziation werden Differenzenquotienten hergeleitet.
Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann

3. Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen

Bei der mathematischen Modellierung von ingenieur- oder naturwissenschaftlichen Problemen treten oft Differenzialgleichungen auf. Überall dort, wo die gesuchte Größe und deren Änderung in das mathematische Modell eingehen, wird sich eine solche ergeben. Ist der Anfangszustand bekannt und die Differenzialgleichung beschreibt die zeitliche oder räumliche Änderung des Vorgangs, so liegt ein Anfangswertproblem vor. In diesem Kapitel wird die numerische Approximation von solchen Anfangswertproblemen für gewöhnliche Differenzialgleichungen betrachtet. Es werden Einschritt- und Mehrschritt-Verfahren vorgestellt und deren Anwendung und praktische Eigenschaften erläutert. Die Begriffe Genauigkeit, lokaler und globaler Approximationsfehler und die Stabilität eines numerischen Verfahrens werden eingeführt.
Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann

4. Rand- und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen

Neben Anfangswertproblemen stellen sich bei praktischen Anwendungen oft auch Randbedingungen auf beiden Seiten des Rechenintervalls. Statt einem eingespannten Balken und der Lösung eines Anfangswertproblems liegt der Balken auf beiden Seiten auf. Diese beidseitige Lagerung führt auf zwei Randwerte für das Problem. Zur numerische Lösung von Randwertproblemen werden drei Klassen von Methoden betrachtet. Beim Schießverfahren wird ein zusätzlicher Anfangswert vorgegeben und dieser durch mehrmaliges Lösen des Anfangswertproblems so bestimmt, dass der vorgegebene Randwert auf der anderen Seite angenommen wird. Die beiden anderen Klassen von Verfahren sind sehr allgemein anwendbar und sind Standardmethoden zur Approximation von partiellen Differenzialgleichungen. Beim Differenzenverfahren werden die Ableitungen an Gitterpunkten durch Differenzenquotienten approximiert und damit die Differenzialgleichung in ein System von Differenzengleichungen für die Näherungswerte überführt. Beim Finite-Elemente-Verfahren wird die Lösungsfunktion durch eine einfache Funktion approximiert, die aus stückweisen Polynomen zusammengesetzt wird. Die Koeffizienten der Linearkombination sind die Freiheitsgrade, die so berechnet werden, dass der Approximationsfehler möglichst klein wird. Bei homogenen Problemen können statt Randwertprobleme auch Eigenwertprobleme auftreten.
Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann

5. Grundlagen der partiellen Differenzialgleichungen

Für die numerischen Verfahren bei partiellen Differenzialgleichungen ist es wichtig, die grundlegenden Eigenschaften der beschriebenen physikalischen Prozesse und die daraus resultierenden Lösungseigenschaften zu kennen. Nur so gelingt es, gute und effiziente numerische Verfahren zu entwickeln. Darum ist eine Übersicht über physikalische Eigenschaften und deren mathematische Modellierung in diesem Kapitel zusammengefasst. Nach der Klassifizierung der Differenzialgleichungen 2.Ordnung wird auf die drei Klassen: Elliptische, parabolische und hyperbolische Differenzialgleichung und deren physikalische Bedeutung als Potenzial-, Wärmeleitung und Wellengleichung, eingegangen. Evolutionsgleichungen und Erhaltungsgleichungen als Systeme von Differenzialgleichungen 1. Ordnung schließen sich an. Neben den einfachsten Differenzialgleichungen in jeder Klasse werden als Anwendungen die Gleichungen der Strömungsmechanik erläutert.
Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann

6. Grundlagen der numerischen Verfahren für partielle Differenzialgleichungen

Qualitätskriterien für Näherungsverfahren sind Konsistenz, Stabilität und Konvergenz. Diese Begriffe wurden schon für die numerischen Methoden für gewöhnliche Differenzialgleichungen eingeführt und werden in diesem Kapitel auf partielle Differenzialgleichungen übertragen. Dies wird so allgemein ausgeführt, dass diese Begriffe für die drei wichtigsten Klassen von Näherungsverfahren für die partiellen Differenzialgleichungen anwendbar sind. Auf die Herleitungen und die Erfahrungen mit den numerischen Methoden für gewöhnliche Differenzialgleichungen wird dabei aufgebaut. Auch auf die Gittererzeugung im Falle mehrdimensionaler Probleme wird eingegangen. Diese wird für die mehrdimensionalen Gleichungen eine neue grundlegende Thematik.
Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann

7. Differenzenverfahren

Die grundlegende Idee bei der Klasse von Differenzenverfahren ist die in der Differenzialgleichung auftretenden Ableitungen durch Differenzenquotienten zu ersetzen. Diese Vorgehensweise ist motiviert durch die Definition der Ableitung als Grenzwert eines Differenzenquotienten. Ist die Schrittweite klein, dann sollte der Differenzenquotient eine gute Näherung für die Ableitung darstellen. Diese Idee lässt sich von den gewöhnlichen direkt zu den partiellen Differenzialgleichungen übertragen, da bei einer partiellen Ableitung nach einer der unabhängigen Variablen differenziert und die anderen festgehalten werden. Die Differenzenverfahren werden auf alle drei Klassen von partiellen Differenzialgleichungen angewandt und an den generischen einfachen Gleichungen erläutert. Es wird die Lösung der Differenzengleichungen mit Hilfe von iterativen Verfahren und bei zeitabhängigen Problemen neben der Raumdiskretisierung die explizite und implizite Zeitapproximation abgeleitet. Differenzenverfahren lassen sich sehr einfach auf kartesischen Gittern formulieren. Zur Approximation in nicht-kartesischen Rechengebieten benötigt man eine Transformation auf ein kartesisches Rechengebiet und rechnet mit Hilfe eines randangepassten strukturierten Gitters.
Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann

8. Finite-Elemente-Methode

Auch die Klasse der Finiten-Elemente-Verfahren kann auf den mehrdimensionalen Fall übertragen werden. Die Näherungslösung ist wie bei den Randwertproblemen für gewöhnliche Differenzialgleichungen eine einfache Funktion, die man als Linearkombination von Basisfunktionen darstellt. Dies sind auch hier stückweise Polynome. Für verschiedene Gitterzellen, Dreiecke und Vierecke in zwei Raumdimensionen, werden Basisfunktionen eingeführt. Die Koeffizienten der Linearkombination werden wieder so bestimmt, dass der Approximationsfehler möglichst klein wird. Hierzu gibt es das Verfahren von Ritz und die Methode der gewichteten Residuen. Wegen der häufigen Anwendung wird vor allem das Galerkin-Verfahren als Methode der gewichteten Residuen betrachtet. Eine elementweise Formulierung wird eingeführt, in der für jedes finite Element eine lokale Massen- und Steifigkeitsmatrix aufgestellt wird. Die lokalen Matrizen werden zu einer globalen Matrix assembliert.
Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann

9. Finite-Volumen-Verfahren

Die dritte Klasse von numerischen Methoden für partielle Differenzialgleichungen sind die Finite-Volumen-Verfahren, die für hyperbolische Erhaltungsgleichungen abgeleitet werden. Diese Verfahren sind eine direkte Approximation von integralen Mittelwerten in den Gitterzellen. Man benötigt hier keine Voraussetzung an die Stetigkeit der Lösung. Der zentrale Baustein der Finite-Volumen-Verfahren ist die Berechnung des numerischen Flusses. Aus den Näherungswerten für die integralen Mittelwerte muss der Fluss zwischen den Gitterzellen berechnet werden. Es wird die Idee von Godunov eingefürt, bei der über die lokale Lösung von stückweise konstanten Daten die Berechnung des Flusses ausgeführt wird. Die lokale Lösung wird für eine eindimensionale skalare Erhaltungsgleichung und für lineare Systeme dargestellt und der Godunov-Fluss abgeleitet. Neben Approximationen dieses Flusses wird auch eine Methode vorgestellt, wie man mittels stückweiser linearer rekonstruierter Werte eine Flussberechnung bekommt, welche in Bereichen, in denen die Lösung glatt ist, eine Approximation zweiter Ordnung erhält.
Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann

Backmatter

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