9. Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

Der Beitrag behandelt die numerische Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, die in vielen Bereichen der Ingenieur- und Naturwissenschaften, aber auch in den Sozialwissenschaften und der Medizin von zentraler Bedeutung sind. Es werden verschiedene Anwendungsbeispiele wie die Steuerung von Raketen und Satelliten, chemische Reaktionen und die automatische Produktion in der Robotik sowie die Bestimmung des Todeszeitpunkts in der Gerichtsmedizin vorgestellt. Der Text geht detailliert auf die Herausforderungen ein, die sich bei der numerischen Lösung von Differentialgleichungen ergeben, insbesondere bei unterschiedlich schnell ablaufenden Teilprozessen. Es werden verschiedene numerische Lösungsmethoden, darunter Einschrittverfahren wie die Methode von Euler und Runge-Kutta-Verfahren, sowie Mehrschrittverfahren wie die Adams-Bashforth- und Adams-Moulton-Methoden, vorgestellt. Die Fehleranalyse und die Stabilität der Verfahren werden umfassend behandelt, wobei sowohl lokale als auch globale Diskretisierungsfehler betrachtet werden. Der Beitrag zeigt, wie durch die Wahl geeigneter Schrittweiten und die Anwendung von Schrittweitensteuerung die Genauigkeit der numerischen Lösungen verbessert werden kann. Zudem wird auf die Implementierung der Verfahren in Programmen wie MATLAB und Python eingegangen, wobei Beispielcodes und deren Ergebnisse detailliert beschrieben werden. Der Text schließt mit einer Diskussion über steife Differentialgleichungen und deren numerische Lösung, wobei die Bedeutung der absoluten Stabilität und die Anwendung von impliziten Runge-Kutta-Verfahren und BDF-Verfahren hervorgehoben werden. Abschließend werden Zweipunkt-Randwertprobleme und deren numerische Lösung mit der Finite-Volumen-Methode und Schießverfahren behandelt.