10. Numerische Lösung stochastischer Differentialgleichungen

Oftmals gibt es in mathematischen Modellen mit Differentialgleichungen zufällige Störungen, die durch Zufallsvariable beschrieben werden. In diesen Fällen spricht man von stochastischen Differentialgleichungen. Der Zufall kann sowohl als Term in der Differentialgleichung in Form von „verrauschten“ Koeffizienten, als auch in zufällig gestörten Anfangs- und Randbedingungen auftreten. Im Unterschied zu den nicht-stochastischen, also deterministischen Differentialgleichungen, muss man den Begriff der Lösung einer stochastischen Differentialgleichung unter dem Aspekt des Zufalls definieren. Die Lösungen sind im Allg. zufallsabhängige Größen. Um solche Gleichungen vernünftig interpretieren zu können, werden im Folgenden die erforderlichen Begriffe und Instrumente aus der Stochastik erarbeitet. Einige zum Verständnis des Themas „stochastische Differentialgleichungen“ hilfreiche elementare Grundlagen der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie werden in einem Anhang dargelegt. Dort können die im Folgenden verwendeten Begriffe und Eigenschaften bei Bedarf nachgelesen werden.