12. Numerische Lösung stochastischer Differentialgleichungen

Das Kapitel widmet sich der numerischen Lösung stochastischer Differentialgleichungen, die in vielen mathematischen Modellen auftreten, in denen zufällige Störungen eine Rolle spielen. Es beginnt mit einer Einführung in die Grundlagen der stochastischen Differentialgleichungen und deren Unterschiede zu deterministischen Differentialgleichungen. Dabei wird der Begriff der Lösung unter dem Aspekt des Zufalls definiert und die Notwendigkeit der Einbindung zufälliger Parameter in die Gleichungen erläutert. Ein zentrales Thema ist die Darstellung der stochastischen Prozesse, insbesondere der Brownschen Bewegung und des Wienerprozesses, die als mathematische Beschreibung zeitlich geordneter, zufälliger Vorgänge dienen. Die numerische Behandlung dieser Prozesse erfordert spezielle Integrale, wie das Itô-Integral, dessen Eigenschaften und Anwendungen detailliert beschrieben werden. Das Kapitel behandelt auch die numerischen Lösungsmethoden, wie das Euler-Maruyama-Verfahren und das Milstein-Verfahren, und vergleicht deren Konvergenzeigenschaften. Zudem wird auf die Approximation der Wienerprozesse und die Implementierung dieser Methoden in Programmiersprachen wie Octave und MATLAB eingegangen. Die Darstellung der stochastischen Differentialgleichungen und deren numerische Lösung wird durch zahlreiche Beispiele und grafische Darstellungen veranschaulicht, was das Verständnis der komplexen Zusammenhänge erleichtert. Abschließend werden Aufgaben gestellt, die die Anwendung der behandelten Methoden in praktischen Szenarien fördern.