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2024 | Buch

Numerische Mathematik

Eine anschauliche modulare Einführung

verfasst von: Markus Neher

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch bietet einen breit aufgestellten und dennoch kompakten Überblick zu den gängigen Verfahren der Numerik. Durch zahlreiche Beispiele und erläuternde Bemerkungen ist es besonders anschaulich und eignet sich auch – aber keinesfalls ausschließlich! – gut für Lehramtsstudierende.

Behandelt werden numerische Verfahren zur Lösung linearer und nichtlinearer Gleichungssysteme, zur Eigenwertberechnung bei Matrizen, zur Approximation univariater Funktionen sowie zur näherungsweisen Integration bezüglich einer Veränderlichen. Ein einführendes erstes Kapitel schafft insbesondere das nötige Grundverständnis für die zentralen Begriffe Kondition und Stabilität, die aber erst im letzten Kapitel rigoros diskutiert werden um den Einstieg in die Numerik nicht durch aufwändige Stabilitätsanalysen zu erschweren.

Die einzelnen Kapitel sind größtenteils unabhängig voneinander, teilweise können auch einzelne Abschnitte separat gelesen werden. Punktuelles Lernen und Nachschlagen ist damit problemlos möglich.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Einführung
Zusammenfassung
Zunächst wird die Arbeitsweise der numerischen Mathematik vorgestellt und der Unterschied zwischen symbolischen und numerischen Berechnungen erläutert. Danach folgt eine kurze, anschauliche Einführung in Gleitpunktarithmetik, Algorithmen, Kondition und Stabilität. Danach werden Landau-Symbole und Normen als Hilfsmittel bereitgestellt.
Markus Neher
Kapitel 2. Iterationsverfahren für nichtlineare Gleichungen
Zusammenfassung
Nichtlineare Gleichungen können im Allgemeinen nicht exakt gelöst werden. Die Numerik hat daher Näherungsverfahren entwickelt, mit denen sich Lösungen nichtlinearer Gleichungen approximativ lösen lassen. Meist geschieht dies iterativ, indem eine erste Näherung schrittweise verbessert wird.
Markus Neher
Kapitel 3. Direkte Verfahren zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Lineare Gleichungssysteme entstehen in Anwendungen, wenn zwischen gesuchten Größen ein linearer Zusammenhang besteht. Neben dem Gauß-Algorithmus, dessen Arbeitsweise unter numerischen Gesichtspunkten anaylsiert wird, werden auch alternative endliche Lösungsverfahren behandelt.
Markus Neher
Kapitel 4. Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Große lineare Gleichungssysteme können nicht mit vertrebarem Aufwand exakt gelöst werden. Dieses Kapitel widmet sich Näherungsverfahren, die sich in der Praxis bewährt haben. Mit Splitting-Verfahren, Abstiegsverfahren und Projektionsverfahren werden drei unterschiedliche Ansätze diskutiert.
Markus Neher
Kapitel 5. Das Eigenwertproblem für Matrizen
Zusammenfassung
Eigenwerte einer quadratischen Matrix A sind die Nullstellen ihres charakteristischen Polynoms. Für Polynome vom Grad \(n \ge 5\) gibt es jedoch keine allgemeine Lösungsformel, sodass jedes universelle Berechnungsverfahren für Eigenwerte iterativ sein muss. Außerdem ist es numerisch ungünstig, die Nullstellen aus den Polynomkoeffizienten zu bestimmen. In diesem Kapitel werden zuverlässige Alternativen vorgestellt.
Markus Neher
Kapitel 6. Approximation und Interpolation reellwertiger Funktionen
Zusammenfassung
Eine der grundlegenden Aufgabenstellungen der numerischen Mathematik besteht aus der Berechnung von Näherungen für Funktionswerte reellwertiger Funktionen. Zunächst werden Näherungswerte für die in der Mathematik am häufigsten verwendeten transzendenten Funktionen wie die Exponentialfunktion vorgestellt. Außerdem wird diskutiert, wie sich zu Funktionsoder Messwerten einer unbekannten Funktion f an ausgewählten Stellen ein Funktionsausdruck konstruieren lässt, mit dem f auf einem gegebenen Intervall geeignet approximiert werden kann.
Markus Neher
Kapitel 7. Numerische Integration
Zusammenfassung
Manche Anwendungsprobleme lassen sich auf die Berechnung eines bestimmten Integrals zurückführen. Ist keine Stammfunktion des Integranden bekannt, muss die Integrationsaufgabe näherungsweise gelöst werden. Verschiedene geeignete Verfahren werden vorgestellt und analysiert.
Markus Neher
Kapitel 8. Gleitpunktrechnung, Kondition, Stabilität
Zusammenfassung
Gleitpunktrechnung, Kondition und Stabilität sind fundamentale Begriffe in der Numerik, die in diesem Kapitel vertieft diskutiert werden.
Markus Neher
Backmatter
Metadaten
Titel
Numerische Mathematik
verfasst von
Markus Neher
Copyright-Jahr
2024
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-68815-1
Print ISBN
978-3-662-68814-4
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68815-1

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