Numerische Mathematik

Viele Modelle aus Wissenschaft und Technik führen auf Differentialgleichungsprobleme Gerade zu diesen wichtigen mathematischen Problemstellungen liefert die Numerische Mathematik eine große Anzahl erfolgreicher Beiträge. Eine Einführung in die Numerische Mathematik anhand solcher Problemstellungen ist daher ein nahe liegender Weg, mit der Arbeitsweise und mit wichtigen Methoden dieses Faches vertraut zu werden.

Wir beginnen mit einem typischen eindimensionalen linearen Randwertproblem: Gesucht ist eine reelle Funktion u auf dem Intervall [0, 1], welche die Differentialgleichung und die Randbedingungen für vorgegebene Daten a, b, c, f, g₀ und g1 erfüllt. Wie wir in der Übungsaufgabe 1 sehen werden, lässt sich (fast) jede lineare Differentialgleichung 2. Ordnung in diese Form bringen. Aufgrund der speziellen Gestalt des ersten Terms spricht man von einer Differentialgleichung in Divergenzform. Wir haben in der Einleitung gesehen, dass in Bilanzgleichungen Ausdrücke dieser Form (div q) auftreten Also lässt sich die obige Differentialgleichung als Bilanzgleichung (im stationären eindimensionalen Fall) mit q=−a(x)u′(x) und q₀=f (x) − c(x)u(x) − b(x)u(x) interpretieren.

Der Erfolg einer numerischen Methode zur (näherungsweisen) Lösung eines mathematischen Problems hängt entscheidend vom theoretischen Wissen über das Problem ab. Eine erste wichtige Frage ist die Frage nach der Existenz einer Lösung.Hier geht es nicht um die Diskussion der Existenz einer Lösung eines realen Problems, sondern um die Existenz der Lösung des mathematischen Modells, das hoffentlich ein möglichst genaues Abbild der realen Problemstellung liefert. Lässt sich die Existenz einer Lösung des Modells nachweisen, so ist eine Minimalanforderung an ein sinnvolles Modell gesichert: Die Bedingungen, die an eine Lösung gestellt werden, widersprechen einander nicht, eine durchaus nichttriviale Sache bei Differentialgleichungenmit Zusatzbedingungen, wieAnfangs- und/oder Randbedingungen. Als nächstes möchte man Eindeutigkeit der Lösung: Die gestellten Bedingungen sollten ausreichend sein, umgenau eine Lösung zu charakterisieren.Und schließlich sollten kleine änderungen der Daten auch nur kleine änderungen in der Lösung bewirken. Konkrete Daten eines Problems sind meist mit Messfehlern behaftet. Diese Datenfehler sollten sich nicht dramatisch auswirken.Sind diese dreiAnforderungen an ein Problem, nämlich Existenz, Eindeutigkeit der Lösung und stetige Abhängigkeit der Lösung von den Daten, erfüllt, so sprechen wir von einem korrekt gestellten (oder auch gut gestellten, engl.: well posed) Problem. Ist eine dieser Anforderungen nicht erfüllt, so spricht man von einem inkorrekt gestellten (oder auch schlecht gestellten, engl.: ill posed) Problem.

Die Formulierung des Randwert problems aus Kapitel 2 als Variationsproblem war mühsam, das Prinzip der Diskretisierung des Variationsproblems ist nun aber kurz darstellbar und lässt sich sehr allgemein formulieren.

Um die Näherungslösung des diskreten Variationsproblems endgültig zu bestimmen, muss noch das lineare Gleichungssystem gelöst werden.

Das wohl bekannteste Verfahren zur Berechnung der Lösung eines linearen Gleichungssystems oder ausführlicher ist das Gaußch¹ Eliminationsverfahren.

Anstelle einer gewöhnlichen Differentialgleichung auf dem Intervall (0, 1) betrachten wir nun eine partielle Differentialgleichung auf einer offenen Menge Ω ⊂ ℝ ^d mit der Raumdimension d ∈ {1, 2, 3}.Anstelle der Randbedingungen in den Randpunkten 0 und 1 des Intervalls (0, 1) werden nun Randbedingungen auf zwei disjunkten Teilmengen Γ ^D und Γ ^N , die den ganzen Rand Γ= ∂Ω=Γ ∪ Γ ^N umfassen, formuliert: Gesucht ist eine Funktion u auf \( \bar \Omega = \Omega \cup \Gamma \) welche die Differentialgleichung und die Randbedingungen für vorgegebene Daten a _ij , b _i , c, f, g _D und g _N erfüllt.

Wir betrachten zunächst wieder allgemeine lineare Gleichungssysteme und beginnen die Diskussion mit dem wohl einfachsten Iterationsverfahren

Wir betrachten folgendes nichtlineare Randwertproblem: Gesucht ist eine Funktion u auf \( \bar \Omega = \Omega \cup \Gamma \), welche die Differentialgleichung und die Randbedingungen erfüllt. Dabei sind q _i (x, ξ₀, ξ) für i=1, ..., d und r(x, ξ₀, ξ) vorgegebene Funktionen, die auch nichtlinear von ξ₀ bzw. ξ = (ξ₁, ... , ξ _d ) ^T abhängen können. Man beachte wieder die Divergenzform der Differentialgleichung. Durch Einführung des Flusses q(x, ξ₀, ξ) = (q _i (x, ξ₀, ξ))_i=1, ... , _d lässt sich das Randwertproblem kompakter schreiben: Der früher diskutiertelineare Fall entspricht der Setzung .

Wir betrachten allgemeine nichtlineare Gleichungssysteme in so genannter Nullpunktform mit einer gegebenen nichtlinearen Abbildung F:ℝ ⁿ → ℝ ⁿ und wollen die Lösung x ∈ ℝ ⁿ berechnen. Die Nullpunktform ist natürlich keinerlei Einschränkung, so können wir zum Beispiel das durch Diskretisierung entstandene nichtlineare Gleichungssystem des letzten Kapitels leicht in Nullpunktform schreiben: Übertragenwir die Ideen für lineareGleichungssysteme,so bietet sichsofort folgende Klasse von Iterationsverfahren für (10.1) an: Wir nennen auch dieses Iterationsverfahren ein präkonditioniertes Richardson- Verfahren. Im Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen lassen wir nun aber auch Präkonditionierungsmatrizen zu, die sich in jedem Iterationsschritt ändern dürfen. Man spricht in diesem Zusammenhang von einem präkonditionierten Richardson- Verfahren mit variabler Präkonditionierung.