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Über dieses Buch

"Numerische Mathematik", aufgeteilt in zwei Bände, ist eine Einführung in die Numerische Mathematik anhand von Differentialgleichungsproblemen. Gegliedert nach elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Differentialgleichungen wird zunächst jeweils die Diskretisierung solcher Probleme besprochen. Als Diskretisierungstechniken stehen Finite-Elemente-Methoden im Raum und (partitionierte) Runge-Kutta-Methoden in der Zeit im Vordergrund. Die diskretisierten Gleichungen dienen als Motivation zur Diskussion von Methoden für endlichdimensionale lineare und nichtlineare Gleichungen, die anschließend als eigenständige Themen behandelt werden. Auf diese Weise wird versucht, nicht nur ein einführendes sondern auch ein in sich abgeschlossenes Bild der Numerischen Mathematik, zumindest in einem zentralen Aufgabenbereich, zu vermitteln.

Der vorliegende Band 1 beginnt mit der Variationsformulierung eines linearen eindimensionalen Randwertproblems, setzt mit einer kurzen Diskussion linearer mehrdimensionaler Randwertprobleme fort und endet mit einer einführenden Betrachtung nichtlinearer Randwertprobleme. Die Analyse der Randwertprobleme legt die richtige Spur zur Diskretisierung und anschließend zur Auflösung der durch Diskretisierung erhaltenen Gleichungssysteme. Die diskretisierten Gleichungssysteme dienen als Einstieg und Motivation der dann folgenden Behandlung allgemeiner endlich-dimensionaler Gleichungssysteme.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Viele Modelle aus Wissenschaft und Technik führen auf Differentialgleichungsprobleme Gerade zu diesen wichtigen mathematischen Problemstellungen liefert die Numerische Mathematik eine große Anzahl erfolgreicher Beiträge. Eine Einführung in die Numerische Mathematik anhand solcher Problemstellungen ist daher ein nahe liegender Weg, mit der Arbeitsweise und mit wichtigen Methoden dieses Faches vertraut zu werden.

Walter Zulehner

2. Ein erstes Beispiel einer Variationsformulierung

Wir beginnen mit einem typischen eindimensionalen linearen Randwertproblem: Gesucht ist eine reelle Funktion

u

auf dem Intervall [0, 1], welche die Differentialgleichung

$$ - (a(x)u'(x))' + b(x)u'(x) + c(x)u(x) = f(x)f{\text{\"u r alle }}x{\text{ }} \in {\text{ (0,1)}} $$

und die Randbedingungen

$$ \begin{gathered} u(0) = g_0 , \hfill \\ a(1)u'(1) = g_1 \hfill \\ \end{gathered} $$

für vorgegebene Daten

a, b, c, f

,

g

0

und

g

1 erfüllt. Wie wir in der Übungsaufgabe 1 sehen werden, lässt sich (fast) jede lineare Differentialgleichung 2. Ordnung in diese Form bringen. Aufgrund der speziellen Gestalt des ersten Terms spricht man von einer Differentialgleichung in Divergenzform. Wir haben in der Einleitung gesehen, dass in Bilanzgleichungen Ausdrücke dieser Form (div

q

) auftreten Also lässt sich die obige Differentialgleichung als Bilanzgleichung (im stationären eindimensionalen Fall) mit

q

=−

a(x)u′(x)

und

q

0

=

f (x) − c(x)u(x) − b(x)u(x)

interpretieren.

Walter Zulehner

3. Der Satz von Lax-Milgram

Der Erfolg einer numerischen Methode zur (näherungsweisen) Lösung eines mathematischen Problems hängt entscheidend vom theoretischen Wissen über das Problem ab. Eine erste wichtige Frage ist die Frage nach der Existenz einer Lösung.Hier geht es nicht um die Diskussion der Existenz einer Lösung eines realen Problems, sondern um die Existenz der Lösung des mathematischen Modells, das hoffentlich ein möglichst genaues Abbild der realen Problemstellung liefert. Lässt sich die Existenz einer Lösung des Modells nachweisen, so ist eine Minimalanforderung an ein sinnvolles Modell gesichert: Die Bedingungen, die an eine Lösung gestellt werden, widersprechen einander nicht, eine durchaus nichttriviale Sache bei Differentialgleichungenmit Zusatzbedingungen, wieAnfangs- und/oder Randbedingungen. Als nächstes möchte man Eindeutigkeit der Lösung: Die gestellten Bedingungen sollten ausreichend sein, umgenau eine Lösung zu charakterisieren.Und schließlich sollten kleine änderungen der Daten auch nur kleine änderungen in der Lösung bewirken. Konkrete Daten eines Problems sind meist mit Messfehlern behaftet. Diese Datenfehler sollten sich nicht dramatisch auswirken.Sind diese dreiAnforderungen an ein Problem, nämlich Existenz, Eindeutigkeit der Lösung und stetige Abhängigkeit der Lösung von den Daten, erfüllt, so sprechen wir von einem korrekt gestellten (oder auch gut gestellten, engl.: well posed) Problem. Ist eine dieser Anforderungen nicht erfüllt, so spricht man von einem inkorrekt gestellten (oder auch schlecht gestellten, engl.: ill posed) Problem.

Walter Zulehner

4. Die Galerkin-Methode

Die Formulierung des Randwert problems aus Kapitel 2 als Variationsproblem war mühsam, das Prinzip der Diskretisierung des Variationsproblems ist nun aber kurz darstellbar und lässt sich sehr allgemein formulieren.

Walter Zulehner

5. Lineare Gleichungssysteme

Um die Näherungslösung des diskreten Variationsproblems endgültig zu bestimmen, muss noch das lineare Gleichungssystem

$$ K_h \underline u _h = f\__h $$

gelöst werden.

Walter Zulehner

6. Das Gaußsche Eliminationsverfahren

Das wohl bekannteste Verfahren zur Berechnung der Lösung eines linearen Gleichungssystems

$$ Ax = b $$

oder ausführlicher

$$ \begin{gathered} \begin{array}{*{20}c} {a_{11} x_1 } & + & {a_{12} x_2 } & + & \cdots & + & {a_{1n} x_n } & = & {b_1 } \\ {a_{21} x_1 } & + & {a_{22} x_2 } & + & \cdots & + & {a_{2n} x_n } & = & {b_2 } \\ \end{array} \hfill \\ \vdots \vdots \vdots \vdots \hfill \\ \begin{array}{*{20}c} {a_{n1} x_1 } & + & {a_{n2} x_2 } & + & \cdots & + & {a_{nn} x_n } & = & {b_n } \\ \end{array} \hfill \\ \end{gathered} $$

ist das Gaußch

1

Eliminationsverfahren.

Walter Zulehner

7. Erweiterung auf lineare mehrdimensionale Randwertprobleme

Anstelle einer gewöhnlichen Differentialgleichung auf dem Intervall (0, 1) betrachten wir nun eine partielle Differentialgleichung auf einer offenen Menge Ω ⊂ ℝ

d

mit der Raumdimension

d

∈ {1, 2, 3}.Anstelle der Randbedingungen in den Randpunkten 0 und 1 des Intervalls (0, 1) werden nun Randbedingungen auf zwei disjunkten Teilmengen Γ

D

und Γ

N

, die den ganzen Rand Γ= ∂Ω=Γ ∪ Γ

N

umfassen, formuliert: Gesucht ist eine Funktion u auf

$$ \bar \Omega = \Omega \cup \Gamma $$

welche die Differentialgleichung

$$ - \sum\limits_{i,j = 1}^d {\frac{\partial } {{\partial x_i }}\left( {a_{ij} (x)\frac{{\partial u}} {{\partial x_j }}(x)} \right) + } \sum\limits_{i = 1}^d {b_i (x)\frac{{\partial u}} {{\partial x_i }}(x) + c(x)u(x) = f(x) f{\text{\"u }}r alle x \in \Omega } $$

und die Randbedingungen

$$ \begin{gathered} u(x) = g_D (x)f{\text{\"u }}r alle x \in \Gamma _D , \hfill \\ \sum\limits_{i,j = 1}^d {a_{ij} (x)n_i (x)\frac{{\partial u}} {{\partial x_j }}(x)} = g_N (x)f{\text{\"u }}r alle x \in \Gamma _N \hfill \\ \end{gathered} $$

für vorgegebene Daten

a

ij

, b

i

, c, f, g

D

und

g

N

erfüllt.

Walter Zulehner

8. Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme

Wir betrachten zunächst wieder allgemeine lineare Gleichungssysteme

$$ Ax = b $$

und beginnen die Diskussion mit dem wohl einfachsten Iterationsverfahren

Walter Zulehner

9. Erweiterung auf nichtlineare Randwertprobleme

Wir betrachten folgendes nichtlineare Randwertproblem: Gesucht ist eine Funktion u auf

$$ \bar \Omega = \Omega \cup \Gamma $$

, welche die Differentialgleichung

$$ \sum\limits_{i = 1}^d {\frac{\partial } {{\partial x_i }}\left( {q_i (x, u(x), grad u(x))} \right)} + r(x, u(x), grad u(x)) = f(x)f{\text{\"u r alle }}x{\text{ }} \in {\text{ }}\Omega $$

und die Randbedingungen

$$ \begin{gathered} u(x) = g_D (x)f{\text{\"u }}r alle x \in \Gamma _D , \hfill \\ - \sum\limits_{i = 1}^d {q_i (x, u(x), grad u(x)) n_i (x)} = g_N (x)f{\text{\"u }}r alle x \in \Gamma _N \hfill \\ \end{gathered} $$

erfüllt. Dabei sind

q

i

(

x

, ξ

0

, ξ) für

i

=1, ...,

d

und

r

(

x

, ξ

0

, ξ) vorgegebene Funktionen, die auch nichtlinear von ξ

0

bzw. ξ = (ξ

1

, ... , ξ

d

)

T

abhängen können. Man beachte wieder die Divergenzform der Differentialgleichung. Durch Einführung des Flusses

q

(

x

, ξ

0

, ξ) = (

q

i

(

x

, ξ

0

, ξ))

i

=1

, ... ,

d

lässt sich das Randwertproblem kompakter schreiben:

$$ \begin{gathered} div \left( {q(x, u(x), grad u(x))} \right) + r(x, u(x), grad u(x)) = f(x)f{\text{\"u }}r alle x \in \Omega , \hfill \\ u(x) = g_D (x)f{\text{\"u }}r alle x \in \Gamma _D , \hfill \\ - q(x, u(x), grad u(x)) \cdot n(x) = g_N (x)f{\text{\"u }}r alle x \in ,\Gamma _N . \hfill \\ \end{gathered} $$

Der früher diskutiertelineare Fall entspricht der Setzung

$$ q(x,\xi _0 ,\xi ) = - A(x)\xi ,r(x,\xi _0 ,\xi ) = b(x) \cdot \xi + c(x)\xi _0 . $$

.

Walter Zulehner

10. Das Newton-Verfahren

Wir betrachten allgemeine nichtlineare Gleichungssysteme in so genannter Nullpunktform

(10.1)

$$ F(x) = 0 $$

mit einer gegebenen nichtlinearen Abbildung

F

:ℝ

n

→ ℝ

n

und wollen die Lösung

x

∈ ℝ

n

berechnen. Die Nullpunktform ist natürlich keinerlei Einschränkung, so können wir zum Beispiel das durch Diskretisierung entstandene nichtlineare Gleichungssystem des letzten Kapitels leicht in Nullpunktform schreiben:

$$ \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{K} _h \underline u _h - f\__h = 0. $$

Übertragenwir die Ideen für lineareGleichungssysteme,so bietet sichsofort folgende Klasse von Iterationsverfahren für (10.1) an:

$$ x_{k + 1} = x_k - \tau _k C_k^{ - 1} F(x_k ). $$

Wir nennen auch dieses Iterationsverfahren ein präkonditioniertes Richardson- Verfahren. Im Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen lassen wir nun aber auch Präkonditionierungsmatrizen zu, die sich in jedem Iterationsschritt ändern dürfen. Man spricht in diesem Zusammenhang von einem präkonditionierten Richardson- Verfahren mit variabler Präkonditionierung.

Walter Zulehner

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