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Über dieses Buch

"Numerische Mathematik", aufgeteilt in zwei Bände, ist eine Einführung in die Numerische Mathematik anhand von Differentialgleichungsproblemen. Gegliedert nach elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Differentialgleichungen wird zunächst jeweils die Diskretisierung solcher Probleme besprochen. Als Diskretisierungstechniken stehen Finite-Elemente-Methoden im Raum und (partitionierte) Runge-Kutta-Methoden in der Zeit im Vordergrund. Die diskretisierten Gleichungen dienen als Motivation zur Diskussion von Methoden für endlichdimensionale lineare und nichtlineare Gleichungen, die anschließend als eigenständige Themen behandelt werden. Auf diese Weise wird versucht, nicht nur ein einführendes sondern auch ein in sich abgeschlossenes Bild der Numerischen Mathematik, zumindest in einem zentralen Aufgabenbereich, zu vermitteln.

Der zweite Band setzt mit der Diskussion parabolischer und hyperbolischer Anfangsrandwertprobleme fort. Die durch Semi-Diskretisierung im Raum entstehenden Anfangswertprobleme dienen als Einstieg und Motivation der anschließenden Behandlung allgemeiner Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung. Schließlich werden die für diese allgemeinen Problemstellungen erarbeiteten Erkenntnisse auf semi-diskretisierte parabolische und hyperbolische Probleme angewendet.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Zusammenfassung
Die numerischen Problemstellungen, die in Band 1 diskutiert wurden, standen im engen Zusammenhang mit Randwertproblemen für Differentialgleichungen 2. Ordnung. Als ein einfaches Beispiel dieser Art diente das Problem der Bestimmung der Temperatur in einem Festkörper, siehe Band 1, Seiten 3, 4 und 7. Damals wurde vorausgesetzt, dass alle beteiligten Größen nur vom Ort, nicht aber von der Zeit abhängen. Die Differentialgleichung für die Temperaturverteilung u(x)=T(x) lautet im eindimensionalen Fall:
$$ - \lambda \frac{{{d^2}u}}{{d{x^2}}} + \alpha u = \alpha {T_0},$$
(1.1)
wobei wir hier und auch in der folgenden Diskussion der Einfachheit halber voraussetzen wollen, dass die Wärmeleitzahl λ und der Wärmeübergangskoeffizient α konstant sind.
Walter Zulehner

2. Variationsformulierung eines parabolischen Anfangsrandwertproblems

Zusammenfassung
Wir beginnen die Diskussion von instationären Problemen mit parabolischen Differentialgleichungen und benötigen dazu zunächst alle Größen, die bereits für ein (elliptisches) Randwertproblem in Band 1, Kapitel 7 eingeführt wurden: Eine offene Menge Ω ⊂ ℝ d mit der Raumdimension d ∈ {1, 2, 3}, zwei disjunkte Teilmengen ΛD und ΛN, die den ganzen Rand Λ=ϱΩ=Λ D ∪Λ N umfassen und einen (linearen) Differentialoperator L, gegeben durch
$$\begin{gathered} Lv\left( x \right) = - \sum\limits_{i,k = 1}^d {\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {{a_{ik}}\left( x \right)\frac{{\partial v}}{{\partial {x_k}}}\left( x \right)} \right)} + \sum\limits_{i = 1}^d {{b_i}\left( x \right)\frac{{\partial v}}{{\partial {x_i}}}\left( x \right) + c\left( x \right)v\left( x \right)} \hfill \\ = - div\left( {A\left( x \right) grad v \left( x \right)} \right) + b\left( x \right) \cdot grad v\left( x \right) + c\left( x \right)v\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} $$
mit den Koeffizienten A(x)=(a ik (x)) i,k =1,..., d, b(x)=(b i (x)) i =1,...,d und c(x). Wir betrachten das folgende typische Anfangsrandwertproblem: Gesucht ist eine Funktion u auf \({\bar Q_T}\), dem Abschluss der Menge Q T =Δ × (0, T) (siehe Einleitung), welche die Differentialgleichung
$$\frac{{\partial u}}{{\partial t}}\left( {x,t} \right) + Lu\left( {x,t} \right) = f\left( {x,t} \right) f\ddot ur alle \left( {x,t} \right) \in {Q_T},$$
die Randbedingungen
$$\begin{gathered} u\left( {x,t} \right) = {g_D}\left( {x,t} \right) f\ddot ur alle \left( {x,t} \right) \in {\Gamma _D} \times \left( {0,T} \right), \hfill \\ A\left( x \right)grad u\left( {x,t} \right) \cdot n\left( x \right) = {g_N}\left( {x,t} \right) f\ddot ur alle \left( {x,t} \right) \in {\Gamma _N} \times \left( {0,T} \right) \hfill \\ \end{gathered} $$
und die Anfangsbedingung
$$u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right) f\ddot ur alle x \in \bar \Omega $$
für vorgegebene Daten A, b, c, f, g D , g N und u0 erfüllt.
Walter Zulehner

3. Semi-Diskretisierung

Zusammenfassung
Die gesuchte Lösung u des Anfangsrandwertproblems aus Kapitel 2 hängt sowohl von der Ortsvariablen x als auch von der Zeitvariablen t ab.Wir haben in Band 1, Kapitel 4 bereits ein sehr allgemeines Prinzip zur Diskretisierung kennen gelernt: die Galerkin1-Methode. Diese Methode setzen wir hier ein, um zunächst das Anfangsrandwertproblem bezüglich der Ortsvariablen x zu diskretisieren. Als Resultat werden wir (als Zwischenergebnis) einAnfangswertproblemf ür ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung bezüglich der Zeitvariablen t erhalten. Wir sprechen von einer Semi-Diskretisierung, da immer noch eine weitere Diskretisierungstechnik (hier f ür die Zeitvariable t) benötigt wird. Die Diskussion der Zeitdiskretisierung werden wir im Kapitel 4 beginnen.
Walter Zulehner

4. Explizite Runge-Kutta-Verfahren für Anfangswertprobleme

Zusammenfassung
Durch Semi-Diskretisierung haben wir im letzten Kapitel erreicht, dass aus dem ursprünglichenAnfangsrandwertproblem einer partiellen Differentialgleichung ein Anfangswertproblem eines Systems von gewöhnlichen Differentialgleichungen entstand. Wir wenden uns nun der Konstruktion von Näherungslösungen solcher Problemstellungen zu und gehen dabei von der folgenden allgemeinen Form aus: Gesucht ist eine stetig differenzierbare Funktion u: [0, T] → ℝ n , sodass
$$\begin{gathered} u'\left( t \right) = f\left( {t,u\left( t \right)} \right) f\ddot ur alle t \in \left( {0,T} \right), \hfill \\ u\left( 0 \right) = {u_0} \hfill \\ \end{gathered} $$
(4.1)
für eine gegebene stetige rechte Seite f: [0, T] × ℝ n → ℝ n der Differentialgleichung und einen gegebenen Anfangswert u0 ∈ ℝ n .
Walter Zulehner

5. Steife Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Die erfolgreiche Konvergenzanalyse des letzten Kapitels beruhte auf der Gültigkeit einer Lipschitz-Bedingung f ür die rechte Seite der Differentialgleichung:
$$\left\| {f\left( {t,w} \right) - f\left( {t,v} \right)} \right\| \leqslant L\left\| {w - v} \right\| f\ddot ur alle t \in \left[ {0,T} \right], v,w \in {\mathbb{R}^n}.$$
(5.1)
.
Walter Zulehner

6. Erweiterung auf hyperbolische Anfangsrandwertprobleme 2. Ordnung

Zusammenfassung
Wir wenden uns nun einer zweiten wichtigen Klasse von instationären Problemen, denAnfangsrandwertproblemen hyperbolischer Differentialgleichungen zu.Formal unterscheiden sich diese Problemstellungen vom parabolischen Fall nur durch das Auftreten einer zweiten Zeitableitung anstelle einer ersten Zeitableitung und einer zusätzlichen Anfangsbedingung.Mit den Bezeichnungen, die zu Beginn des Kapitels 2 eingeführt wurden, erhalten wir folgende Problemstellung: Gesucht ist eine Funktion u auf dem Abschluss \({\bar Q_T}\) des Raum-Zeit-Zylinders Q T =Ω× (0, T), welche die Differentialgleichung
$$\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}}\left( {x,t} \right) + Lu\left( {x,t} \right) = f\left( {x,t} \right) f\ddot ur alle \left( {x,t} \right) \in {Q_T},$$
, die Randbedingungen
$$\begin{gathered} u\left( {x,t} \right) = {g_D}\left( {x,t} \right) f\ddot ur alle \left( {x,t} \right) \in {\Gamma _D} \times \left( {0,T} \right), \hfill \\ A\left( x \right)grad u\left( {x,t} \right) \cdot n\left( x \right) = {g_N}\left( {x,t} \right) f\ddot ur alle\left( {x,t} \right) \in {\Gamma _N} \times \left( {0,T} \right) \hfill \\ \end{gathered} $$
und die Anfangsbedingungen
$$\begin{gathered} u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right) f\ddot ur alle x \in \bar \Omega , \hfill \\ \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\left( {x,0} \right) = {v_0}\left( x \right) f\ddot ur alle x \in \bar \Omega \hfill \\ \end{gathered} $$
erf üllt.
Walter Zulehner

7. Runge-Kutta-Verfahren für Anfangswertprobleme 2. Ordnung

Zusammenfassung
Wir beginnen zunächst mit der Konstruktion von Näherungslösungen f ür Anfangswertprobleme 2.Ordnung der allgemeinen Form
$$\begin{gathered} u''\left( t \right) = f\left( {t,u\left( t \right)} \right) f\ddot ur alle t \in \left( {0,T} \right), \hfill \\ u\left( 0 \right) = {u_0}, \hfill \\ u'\left( 0 \right) = {v_0} \hfill \\ \end{gathered} $$
(7.1)
und nehmen erst später Bezug auf die speziellen Problemstellungen dieser Art, die wir durch Semi-Diskretisierung hyperbolischer Probleme erhalten haben.
Walter Zulehner

8. Partitionierte Runge-Kutta-Verfahren

Zusammenfassung
Wir haben ein System von Differentialgleichungen 2.Ordnung
$$u''\left( t \right) = f\left( {t,u\left( t \right)} \right)$$
als ein äquivalentes System 1.Ordnung geschrieben:
$$u'\left( t \right) = v\left( t \right),$$
(8.1)
$$v'\left( t \right) = f\left( {t,u\left( t \right)} \right).$$
(8.2)
Es gibt also eine natürliche Aufteilung (Partitionierung) des Problems in 2 Teile. Man könnte daher für jeden der beiden Teile auch unterschiedliche Runge-Kutta-Verfahren verwenden. Derartig zusammengesetzte Verfahren nennt man partitionierte Runge-Kutta-Verfahren.
Walter Zulehner

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