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Über dieses Buch

Technische Systeme werden von Ingenieur*innen modelliert und durch numerische Methoden simuliert. Dieses Lehrbuch bietet eine unkomplizierte Einführung in numerische Methoden, mit zahlreichen, praxisrelevanten Beispielen, die mithilfe der Programmiersprache Python gelöst werden.

In ingenieurwissenschaftlichen Studienrichtungen sowie in allen Forschungsprojekten sind numerische Simulationen unumgänglich, geeignete Methoden aber oft schwierig zu begreifen. Hier erklären Ingenieure die mathematischen Grundlagen der numerischen Methoden in sachlicher, dennoch simpler Sprache, mit konkreten Anwendungsbeispielen auf Papier und am Bildschirm. Die Besonderheit in diesem Buch ist, dass nicht nur Modelle der physikalischen Systeme berechnet und experimentelle Daten bearbeitet werden, sondern der Code in Python Zeile für Zeile angegeben und erklärt wird.

Über die Autoren:

B. E. Abali arbeitet als Dozent an der Technischen Universität Berlin sowie der Türkisch-Deutschen Universität in Istanbul, und hat an der Technischen Universität München, University of California Berkeley in den USA und Ghent University in Belgien geforscht.

C. Çakıroğlu ist Dozent an der Türkisch-Deutschen Universität in Istanbul und hat an der Technischen Universität Braunschweig, dem DLR (Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt) und der University of Alberta in Kanada geforscht.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Numerische Methoden zur Lösung mathematischer Probleme

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Alle numerischen Methoden benutzen Operationen zur Berechnung eines Rechenschrittes. Wenn wir 2 mal 2 ist gleich 4 wissen, haben wir dies auswendig gelernt. Heutzutage besitzen wir Rechner mit genügend großem Speicherplatz, sodass die Rechner 2 mal 2 ist gleich 4 auch auswendig lernen können. In der Tat sind die Rechner nicht so schnell wie wir, sodass eine andere Methode als das Auswendiglernen besser geeignet ist. Dieses Verfahren nennen wir die numerische Methode, die wir als analoge Strategie zur mechanischen Bewegung beim Rechenschieber visualisieren können.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 2. Darstellung und Fehler

Zusammenfassung
Eine numerische Berechnung hat immer einen Fehler. Der Fehler kommt aus drei unterschiedlichen Gründen zustande. Erstens ist die Abrundung einer Zahl notwendig, da der Speicherplatz eines Rechners begrenzt ist. Zweitens führt jede Operation wie Addition, Subtrahieren, Multiplikation, Division einen Fehler ein. Die Operationen sind aus analogem Grund niemals exakt, da die Rechenschritte zwischengespeichert werden müssen. Drittens ist eine Darstellung der Zahlen aus einer Menge von Zahlen notwendig, um weitere Zahlen zu berechnen. Die endliche Menge beschränkt die möglichen Operationen.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 3. Lösung von Gleichungen mit einer Variable

Zusammenfassung
Eine Gleichung mit einer Variable ist eine Funktion f(x) mit dem Argument x und mit der Ausgabe \(y=f(x)\) für die Eingabe x. Die Aufgabe ist die Bestimmung der Eingabe x, die eine gegebene Ausgabe y generiert. Dies kann umgewandelt werden, sodass wir \(f(x)-y=0\) haben und dann den Wert für x suchen, der die Ausgabe null erzeugt. Die Lösung so einer Nullstelle kann mit zahlreichen numerischen Methoden gewährleistet werden.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 4. Interpolation und Approximation

Zusammenfassung
In einem Experient werden diskrete Werte für diskreten Zeiten aufgenommen. Dabei ist eine Interpolation notwendig, um Werte zwischen den gemessenen Werten zu bestimmen. Allerdings kann es sein, dass die Messung eine gewisse Steuerung beinhaltet. In diesem Fall ist eine Approximation besser, indem die Werte geglättet werden. Viele praktische Methoden aus Regression werden wir kennenlernen. Eine berühmte Methode des maschinellen Lernens (oft als künstliche Intelligenz genannt) gehört auch dazu.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 5. Integration und Differentiation

Zusammenfassung
Eine symbolische Integration oder Differentiation bedeutet, dass die Grundregeln von der Maschine bekannt sind und die Funktionen an sich, statt des numerischen Wertes angegeben werden. Eine numerische Integration oder Differentiation erzielt den numerischen Wert der Funktion.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 6. Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

Zusammenfassung
In der technischen Mechanik werden physikalische Systeme mithilfe der Differentialgleichungen modelliert. Wir möchten nun allgemein Lösungsverfahren der Differentialgleichungen studieren. Zur Vereinfachung der Notation und Erleichterung der Einführung fangen wir mit den gewöhnlichen Differentialgleichungen an. Dies bedeutet, dass eine einzige Variable auftritt. Wir benutzen als diese Variable die Zeit t, sodass ein dynamisches System durch die Beschreibung der zugehörigen Dierentialgleichung (DGL) modelliert werden kann.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 7. Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Eine gewöhnliche Differentialgleichung hat eine einzige Veränderliche t und Variablen \(\phi _i(t)\), die von dieser Veränderlichen abhängen. Eine partielle Differentialgleichung hat mehrere Veränderliche und Variablen, die von diesen Veränderlichen abhängen. Solche Differentialgleichungen tauchen oft in physikalischen Systemen auf. Wir studieren die berühmten Methoden, nämlich die Finite-Volumen-Methode und Finite-Elemente-Methode.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 8. Numerische Lösung der Gleichungssysteme

Zusammenfassung
Die Lösung einer einzigen Gleichung ist ein seltener Fall in technischen Problemen. Oft besteht die Aufgabe aus der Lösung eines Gleichungssystems. Insbesondere die Zusammenstellung der diskreten Elemente wie in der Finite-Volumen-Methode sowie in der Finite-Elemente-Methode erfordert die Lösung eines Gleichungssystems.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 9. Kurzfragen zur Wiederholung

Zusammenfassung
Wir stellen zahlreiche Kurzaufgaben, um die Themen zu wiederholen und sie mit der Ingenieurspraxis zu verknüpfen. Statt einer Aufgabe zum Lösen, erstellen wir Szenarien und bitten um Stellungnahme. Dabei sind die Aufgaben möglichst realitätsnah, allerdings sind sie theoretisch und die vorgeschlagenen Antworten sind nicht immer eindeutig. Es ist wichtig zu bemerken, dass wir hier nicht nur das Thema zeigen, sondern auch die Anwendbarkeit in möglichen Fachgebieten wie Maschinenbau, Baustatik, Mechatronik, Systemregelung, usw. Deswegen möchten wir uns von einer strengen „Geben Sie die richtige Antwort?“ Art und Weise befreien und die Anwendung der numerischen Methoden in der Praxis fördern.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Übungen zu den Methoden

Frontmatter

Kapitel 10. Darstellung und Fehler

Zusammenfassung
Zahlreiche Übungen erleichtern das Lernen, indem man sieht, wie die numerische Methoden in der Tat funktionieren. Aufgaben und Schritt für Schrtitt die Lösungen sind in diesem Teil zu finden. Übungen zur Darstellung und Fehler.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 11. Lösung von Gleichungen mit einer Variable

Zusammenfassung
Übungen zur Lösung von Gleichungen mit einer Variable.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 12. Interpolation und Approximation

Zusammenfassung
Übungen zur Interpolation und Approximation.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 13. Integration und Differentiation

Zusammenfassung
Übungen zur Integration und Differentiation.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 14. Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Übungen zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Computerübungen mit konkreten Anwendungen

Frontmatter

Kapitel 15. Einführung in Python

Zusammenfassung
Python ist eine Programmiersprache, die für Ingenieure entwickelt worden ist. Die Ingenieure können vieles, leider zählt das Programmieren oft nicht dazu. Deshalb wurde Python so entwickelt, dass Implementierungen – bezüglich anderer Sprachen wie C++ oder Java – vereinfacht eingebettet werden. Somit können Ingenieure relativ intuitiv ziemlich komplexe Algorithmen implementieren. Ähnliche Herangehensweisen sind auch in Matlab, Maple und Mathematica zu finden. Im Vergleich zu den genannten kommerziellen Programmen ist Python sehr effizient und kostenlos. Aus diesen Gründen dominiert Python die Wissenschaft. Eine schnelle Einführung wird in diesem Kapitel gegeben.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 16. Binärsystem und Zehnersystem

Zusammenfassung
Die gleiche Zahl kann im Binärsystem und Zehnersystem dargestellt werden. Für unser Verständnis benutzen wir das Zehnersystem. Der Rechner wandelt alles in das Binärsystem um. Wir schreiben beispielhaft einen Code zur Umwandlung.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 17. Gleichungen mit einer Variable

Zusammenfassung
Rechnerübungen in Scipy zur Lösung der Gleichungen mit einer Variable.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 18. Interpolation

Zusammenfassung
Rechnerübungen zur Interpolation in SciPy.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 19. Approximation

Zusammenfassung
Konkrete Anwendungen in SciPy für Data-Approximation, Regression und maschinelles Lernen.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 20. Numerische Integration und Differentiation

Zusammenfassung
Anwendungen zur numerischen Integration und Differentiation mittels SciPy Paketen in Python.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

Kapitel 21. Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Nahezu alle ingenieurwissenschaftlichen Systeme werden mit Differentialgleichungen beschrieben. Zur Lösung dieser Differentialgleichungen gibt es viele Möglichkeiten. Es gibt keine einzige Methode, die alle Differentialgleichungen lösen kann, es gibt aber Funktionen wie scipy.integrate.ode, die versuchen, die allerbeste Methode zu detektieren. Die in den vorherigen Kapiteln besprochenen Methoden, wie die Adams und Runge–Kutta Verfahren, sind schon in SciPy vorhanden. Insbesondere die Wahl der Schrittweite ist durch erfolgreiche Algorithmen automatisiert. Mathematiker beschreiben die Methoden, Informatiker stellen die Programme dazu bereit, die Ingenieure haben die Aufgabe reale Beispiele zu lösen. Im Folgenden lösen wir Beispiele.
Bilen Emek Abali, Celal Çakıroğlu

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