7. Numerische Methoden in der Mechanik

Die Formulierung mechanischer Probleme führt auf Gleichungen, die für konkrete Aufgabenstellungen gelöst werden müssen. Diese Gleichungen können je nach Fragestellung algebraische Beziehungen, Differentialgleichungen oder Variationsgleichungen sein. Beispiele dafür finden sich in den Bänden 1 – 3 und in den vorangegangenen Kapiteln dieses Buches. Algebraische Gleichungen sind zum Beispiel die Gleichgewichtsbedingungen in der Statik starrer Körper, während die Gleichung der Biegelinie eines Balkens eine gewöhnliche Differentialgleichung ist. Die Gleichungen für die Scheibe in Kapitel 2 oder für die Membran in Kapitel 3 stellen dagegen partielle Differentialgleichungen dar. In diesem Kapitel wollen wir uns auf die Lösung von Differential- und Variationsgleichungen beschränken und dafür numerische Näherungsmethoden verwenden. In den vorangegangenen Abschnitten wurden die entsprechenden Gleichungen mittels analytischer Verfahren gelöst, was aber oft nur für spezielle Geometrien und Randbedingungen gelingt. Da bei vielen praktischen Problemstellungen entweder komplizierte Geometrien oder Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten vorliegen, ist ein rein analytisches Vorgehen häufig nicht möglich. Dies gilt sowohl für lineare als auch in besonderem Maße für nichtlineare Differentialgleichungen, bei denen geschlossene Lösungen nur selten gelingen. Dann wird zur Bestimmung der Lösung bzw. zur guten Approximation der Lösung der Einsatz von numerischen Verfahren erforderlich. Entsprechende Methoden sollen in den folgenden Abschnitten vorgestellt werden.