Numerische Simulation in der Moleküldynamik

Experiment, Modellbildung und numerische Simulation. In den Naturwissenschaften ist man bestrebt, die komplexen Vorgänge in der Natur möglichst genau zu modellieren. Der erste Schritt in diese Richtung ist dabei die Naturbeschreibung. Sie dient zunächst dazu, ein geeignetes Begriffssystem zu bilden. Die reine Beobachtung eines Vorganges erlaubt es allerdings in den meisten Fällen nicht, die ihm zugrundeliegenden Gesetzmäßigkeiten zu finden. Dazu sind diese zu kompliziert und lassen sich von anderen sie beeinflussenden Vorgängen nicht exakt trennen. Nur in seltenen Ausnahmefällen können aus reiner Beobachtung Gesetzmäßigkeiten abgeleitet werden, wie dies beispielsweise bei der Entdeckung der Gesetze der Planetenbewegung durch Kepler der Fall war. Statt dessen schafft sich der Wissenschaftler (soweit dies möglich ist) die Bedingungen unter denen der zu beobachtende Vorgang ablaufen soll selbst, das heißt, er führt ein Experiment durch. Dieses Vorgehen erlaubt es, Abhängigkeiten des beobachteten Ergebnisses von den im Experiment gewählten Bedingungen herauszufinden und so Rückschlüsse auf die Gesetzmäßigkeiten zu ziehen, denen das untersuchte System unterliegt. Das Ziel ist dabei die mathematische Formulierung der beobachteten Gesetzmäßigkeiten, also eine Theorie der untersuchten Naturerscheinungen. Meist beschreibt man dabei mit Hilfe von Differential- und Integralgleichungen, wie sich bestimmte Größen in Abhängigkeit von anderen verhalten und sich unter bestimmten Bedingungen über die Zeit ändern. Die resultierenden Gleichungen zur Beschreibung des Systems beziehungsweise des Prozesses bezeichnet man als mathematisches Modell.

In Partikelmethoden werden die Gesetze der klassischen Mechanik [48. 367] verwendet, insbesondere das zweite Gesetz von Newton. In diesem Abschnitt gehen wir nun der Frage nach, wieso es überhaupt sinnvoll ist, die Gesetze der klassischen Mechanik anzuwenden, da eigentlich die Gesetze der Quantenmechanik benutzt werden müßten. Leser, die mehr an der algorithmischen Seite beziehungsweise der Implementierung der Algorithmen in der Moleküldynamik interessiert sind, können diesen Abschnitt überspringen.

In Kapitel 1 haben wir das Partikelmodell, erste Potentiale sowie den Basisalgorithmus vorgestellt. Weitere Potentiale haben wir in Abschnitt 2.2.4 kennengelernt. Offene Fragen sind dabei die schnelle Auswertung der Potentiale beziehungsweise der daraus resultierenden Kräfte an den Partikelpositionen und die Wahl eines geeigneten Integrationsverfahrens. Diesen Problemen sind die folgenden Kapitel des Buches gewidmet. Die verschiedenen Verfahren und Algorithmen für die Auswertung der Kräfte sind dabei stark von der Art der verwendeten Potentiale abhängig. Wir beginnen die Diskussion in diesem Kapitel mit der Herleitung eines Algorithmus für kurzreichweitige Wechselwirkungen, die sich jeweils nur auf die nächsten geometrischen Nachbarn eines Partikels beschränken lassen. Man beachte jedoch, daß der hier vorgestellte Algorithmus auch die Basis für die in den Kapiteln 7 und 8 diskutierten Verfahren für Probleme mit langreichweitigen Wechselwirkungen darstellt.

Im folgenden wenden wir uns der Parallelisierung des Linked-Cell-Codes aus Kapitel 3 zu. Wir setzen die sogenannte Gebietszerlegungstechnik als Parallelisierungsstrategie ein und stützen uns auf die Kommunikationsbibliothek MPI (Message Passing Interface) [8]. Eine Verkürzung der Gesamtrechenzeit wird dadurch erreicht, daß die zu leistenden Berechnungen auf mehrere Prozessoren verteilt werden und somit, zumindest zu einem bestimmten Grad, gleichzeitig ausführbar sind. Darüber hinaus bringt die Parallelisierung auch den weiteren Vorteil mit sich, daß auf einem parallelen Rechensystem häufig mehr Speicherplatz zur Verfügung steht als auf einer einzelnen seriellen Maschine.

In den bisherigen Anwendungen traten nur Paarpotentiale auf. In diesem Kapitel betrachten wir nun einige Anwendungen mit komplizierteren Potentialen und diskutieren die dafür notwendigen Änderungen in den Algorithmen. Wir beginnen mit drei Beispielen für Mehrkörperpotentiale, dem Potential von Finnis-Sinclair [230, 326, 584], dem EAM-Potential [64, 172, 173] und dem Potential von Brenner [122]. Das Potential von Finnis-Sinclair und das EAM-Potential beschreiben Bindungen in Metallen. Wir verwenden diese Potentiale zur Simulation von Mikrorissen und Strukturumwandlungen in metallischen Materialien. Das Potential von Brenner beschreibt Kohlenwasserstoffbindungen. Wir setzen es zur Simulation von Kohlenstoff-Nanoröhren und sogenannten Kohlenstoff-Buckybällen ein. Anschließend erweitern wir unseren Code auf Potentiale mit festen Nachbarschaftsstrukturen. Damit können wir auch einfache Netze aus Atomen und lineare Molekülketten wie Alkane und Polymere simulieren. Zuletzt geben wir einen Ausblick auf die Implementierung von komplizierteren Biomolekülen und Proteinen.

In Abschnitt 3.1 hatten wir das Störnier-Verlet-Verfahren für die Zeitdiskretisierung eingeführt. Darüber hinaus gibt es eine Reihe weiterer Verfahren, um die Newtonschen Bewegungsgleichungen zu diskretisieren. Dazu schreiben wir (6.1) im Hamilton-Formalismus. Dies ist möglich, da die Gesamtenergie¹ des mechanischen Systems erhalten wird. Dann ergibt sich mit Orten q und Impulsen p, die hier x und mx-0307 entsprechen. Die Hamiltonfunktion ist in unserem Fall mit den Teilchenmassen m und dem Potential V. Damit wird aus (6.2) das System von Differentialgleichungen erster Ordnung

In den Kapiteln 3 und 5 haben wir sogenannte kurzreichweitige Potentiale wie das Lennard-Jones-Potential (3.27), das Potential von Finnis-Sinclair (5.2), das EAM-Potential (5.14) und das Potential von Brenner (5.17) betrachtet. Die daraus resultierenden Wechselwirkungen zwischen den Partikeln waren dabei auf nahe beieinander liegende Partikel beschränkt. Neben diesen kurzreichweitigen Potentialen gibt es aber auch Typen von Potentialen, bei denen Wechselwirkungen mit weiter entfernten Partikeln für die Entwicklung des betrachteten Partikelsystems relevant sind. In drei Dimensionen bezeichnet man Potentiale, die in r schneller als l / r³ abfallen, als kurzreich weit ig. ¹ Damit gehören das Gravitationspotential (2.42) und das Coulomb-Potential (2.43) zu den langsam abfallenden, langreichweitigen Potentialen.

In Kapitel 7 haben wir am Beispiel des Coulomb- und des Gravitationspotentials gitterbasierte Verfahren für die Behandlung langreichweitiger Wechselwirkungen zwischen Partikeln beschrieben. Dieser Zugang stützt sich auf eine Darstellung des Potentials Ф als Lösung der Poisson-Gleichung (7.5). Er funktioniert gut solange wir Potentiale vom Typ l/r betrachten und die Teilchen in etwa uniform verteilt sind. Im Falle nicht-uniformer Verteilungen, wenn sich also die Partikel in einem Teil des Simulationsgebietes häufen, verringert sich die Effizienz der gitterbasierten Methoden stark. Das zu verwendende Gitter muß nämlich fein genug gewählt sein, um die inhomogenen Partikelverteilungen aufzulösen. Solche inhomogenen Partikelverteilungen treten insbesondere in der Astrophysik häufig auf, kommen aber auch in vielfältiger Form bei biochemischen Moleküldynamik-Simulationen vor.

Gentechnik und Biotechnologie sind im letzen Jahrzehnt ein immer wichtigeres und aktuelles Thema geworden. Deswegen wollen wir in diesem Kapitel einen Ausblick auf die Vielfalt von Fragestellungen aus dem Bereich Biochemie und Biophysik geben, die mit den bisher entwickelten Moleküldynamik-Methoden behandelt und untersucht werden können. Die Anwendungen gehen dabei von der Dynamik von Proteinen (Eiweißen) über die Strukturuntersuchung von Membranen, der Bestimmung der Bindungsenergien zwischen Inhibitoren und Liganden, bis hin zur Untersuchung von Konformationsänderungen und Fragen der (Ent-)Faltung von Peptiden, Proteinen und Nucleinsäuren.

In diesem Buch haben wir die wichtigsten Schritte der numerischen Simulation in der Moleküldynamik aufgezeigt. Ziel war es, den Leser in die Lage zu versetzen, Codes zur effizienten Behandlung der Newtonschen Bewegungsgleichungen selbst entwickeln und implementieren zu können. Für die Zeitdiskretisierung haben wir dabei das Störmer-Verlet-Verfahren eingesetzt. Zur Kraftauswertung haben wir neben dem Linked-Cell-Verfahren für kurzreichweitige Potentiale auch die effiziente Behandlung des langreichweitigen Coulomb-Potentials durch die SPME-Methode sowie verschiedene Baumalgorithmen behandelt. Ein weiterer Schwerpunkt war die Parallelisierung der vorgestellten Algorithmen mittels MPI. Auf Parallelmaschinen mit verteiltem Speicher lassen sich dann Probleme mit großen Teilchenzahlen bearbeiten. Schließlich haben wir eine Vielzahl konkreter Anwendungen der Moleküldynamik-Methode aus den Bereichen Materialwissenschaft, Biophysik und Astrophysik vorgestellt. Daneben haben wir eine Fülle von Implementierungshinweisen und -details gegeben, die dem Leser die konkrete selbstständige Umsetzung der Verfahren und Algorithmen in eigene Programme ermöglichen sollen.