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10.09.2018

On \(\mathbb {Z}_{2^s}\)-linear Hadamard codes: kernel and partial classification

Zeitschrift:
Designs, Codes and Cryptography
Autoren:
Cristina Fernández-Córdoba, Carlos Vela, Mercè Villanueva
Wichtige Hinweise
The material in this paper was presented in part at the 5th International Castle Meeting on Coding Theory and Applications in Vihula Manor, Estonia, 2017 [10]; and at the 10th Discrete Mathematics Days in Barcelona, Spain, 2016 [9].
This is one of several papers published in Designs, Codes and Cryptography comprising the “Special Issue on Coding and Cryptography”.

Publisher's Note

Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

Abstract

The \(\mathbb {Z}_{2^s}\)-additive codes are subgroups of \(\mathbb {Z}^n_{2^s}\), and can be seen as a generalization of linear codes over \(\mathbb {Z}_2\) and \(\mathbb {Z}_4\). A \(\mathbb {Z}_{2^s}\)-linear Hadamard code is a binary Hadamard code which is the Gray map image of a \(\mathbb {Z}_{2^s}\)-additive code. It is known that the dimension of the kernel can be used to give a complete classification of the \(\mathbb {Z}_4\)-linear Hadamard codes. In this paper, the kernel of \(\mathbb {Z}_{2^s}\)-linear Hadamard codes of length \(2^t\) and its dimension are established for \(s > 2\). Moreover, we prove that this invariant only provides a complete classification for some values of t and s. The exact amount of nonequivalent such codes are given up to \(t=11\) for any \(s\ge 2\), by using also the rank.

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