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Erschienen in:
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2017 | OriginalPaper | Buchkapitel

On Repeated Sequential Closures of Constructible Functions in Valuations

verfasst von : Semyon Alesker

Erschienen in: Geometric Aspects of Functional Analysis

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

The space of constructible functions form a dense subspace of the space of generalized valuations. In this note we prove a somewhat stronger property that the sequential closure, taken sufficiently many (in fact, infinitely many) times, of the former space is equal to the latter one. This stronger property is necessary for some applications in Alesker (Geom Funct Anal 20(5):1073–1143, 2010).

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Nächstes Kapitel Orbit Point of View on Some Results of Asymptotic Theory; Orbit Type and Cotype
Fußnoten
1
This fact was pointed out to the author by C. Brouder in September 2013. I am very grateful to him for this remark.
 
2
This theorem says that if \(K,L \in \mathcal{K}(V )\) cannot be separated by a hyperplane (i.e. there is no hyperplane such that K and L are contained in different closed subspaces defined by the hyperplane) and if convex compact sets K i  → K and L i  → L in the Hausdorff metric as i → ∞, then K i ∩ L i  → K ∩ L.
 
3
This canonical isomorphism was proved in Lemma 5.1.3(1) of [5]. \(C_{Z_{1}}^{\infty }(V,V al_{i}^{\infty }(V ))\) denotes the space of smooth functions on V with support in Z1 and with valued in the Fréchet space V ali ∞ (V ).
 
Literatur
1.
S. Alesker, Integrals of smooth and analytic functions over Minkowski’s sums of convex sets. Convex geometric analysis (Berkeley, CA, 1996), pp, 1–15. Math. Sci. Res. Inst. Publ, vol. 34 (Cambridge University Press, Cambridge, 1999)
2.
S. Alesker, Description of translation invariant valuations on convex sets with solution of P. McMullen’s conjecture. Geom. Funct. Anal. 11 (2), 244–272 (2001)MathSciNetCrossRefMATH
3.
4.
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6.
7.
8.
S. Alesker, A. Bernig, The product on smooth and generalized valuations. Am. J. Math. 134 (2), 507–560 (2012). Also:arXiv:0904.1347
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10.
C. Brouder, N.V. Dang, F. Hélein, Continuity of the fundamental operations on distributions having a specified wave front set (with a counterexample by Semyon Alesker). Studia Math. 232 (3), 201–226 (2016)MathSciNetMATH
11.
12.
M. Kashiwara, P. Schapira, Sheaves on manifolds. With a chapter in French by Christian Houzel. Corrected reprint of the 1990 original. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 292 (Springer, Berlin, 1994)
13.
A.G. Khovanski, A.V. Pukhlikov, Finitely additive measures of virtual polyhedra. (Russian) Algebra i Analiz 4 (2), 161–185 (1992). Translation in St. Petersburg Math. J. 4 (2), 337–356 (1993)
14.
R. Schneider, Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 44 (Cambridge University Press, Cambridge, 1993)
15.
V.A. Zorich, Mathematical Analysis. II. Universitext (Springer, Berlin, 2004). Translated from the 2002 fourth Russian edition by Roger Cooke
Metadaten
Titel
On Repeated Sequential Closures of Constructible Functions in Valuations
verfasst von
Semyon Alesker
Copyright-Jahr
2017
Buch
Geometric Aspects of Functional Analysis

Print ISBN: 978-3-319-45281-4

Electronic ISBN: 978-3-319-45282-1

Copyright-Jahr: 2017

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-45282-1_1