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Erschienen in:
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2019 | OriginalPaper | Buchkapitel

On the 1-dim Defocusing NLS Equation with Non-vanishing Initial Data at Infinity

verfasst von : Nikolaos Gialelis, Ioannis G. Stratis

Erschienen in: Modern Methods in Operator Theory and Harmonic Analysis

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

We show global well-posedness of certain type of strong-in-time and weak-in-space solutions for the Cauchy problem of the 1-dimensional nonlinear Schrödinger equation, in various cases of open sets, bounded and unbounded. These solutions do not vanish at the boundary or at infinity.

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Fußnoten
1
That is, https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-030-26748-3_19/464909_1_En_19_IEq163_HTML.gif in \(\sigma \!\left( L^\infty \!\left( J;\mathcal {F}^*\right) ,L^1\!\left( J;\mathcal {F}\right) \right) \). Note that \(L^\infty \!\left( J;\mathcal {F}^*\right) \!\cong \!\left( L^1\!\left( J;\mathcal {F}\right) \right) ^*\) (see, e.g., [5] Theorem 1, Sect. \(\text {IV}.1\)).
 
2
This specific subset is an orthogonal basis of both \({H_0^1\!\left( U;{\mathbb {C}}\right) }\) and \({L^2\!\left( U;{\mathbb {C}}\right) }\).
 
3
We can modify the reflection technique used for the proof of this result, in order to cover the case of the extension of \(H^2\)-functions. In particular, we can apply the reflection technique used for Theorem 5.19 in [1].
 
4
For the \(H^2\)-regularity, we define \(\mathbf {v}_m^k\!:=\!\eta _k\mathcal {E}_U\mathbf {u}_m^k\), for all \({m\!\in \!\mathrm{I\!N}}\).
 
Literatur
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Metadaten
Titel
On the 1-dim Defocusing NLS Equation with Non-vanishing Initial Data at Infinity
verfasst von
Nikolaos Gialelis
Ioannis G. Stratis
Copyright-Jahr
2019
Buch
Modern Methods in Operator Theory and Harmonic Analysis

Print ISBN: 978-3-030-26747-6

Electronic ISBN: 978-3-030-26748-3

Copyright-Jahr: 2019

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-030-26748-3_19