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2008 | OriginalPaper | Buchkapitel

On the Continued Fraction Expansion of a Class of Numbers

verfasst von : Damien Roy

Erschienen in: Diophantine Approximation

Verlag: Springer Vienna

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A classical result of Dirichlet asserts that, for each real number ξ and each real

X ≥

1, there exists a pair of integers (

x

0

, x

1

) satisfying

$$ 1 \leqslant x_0 \leqslant X and \left| {x_0 \xi - x_1 } \right| \leqslant X^{ - 1} $$

(a general reference is Chapter I of [10]). If ξ is irrational, then, by letting

X

tend to infinity, this provides infinitely many rational numbers

x

1

/x

0

with |ξ - x

1

/x

0

x

0

- 2

. By contrast, an irrational real number ξ is said to be

badly approximable

if there exists a constant c

1

> 0 suchthat |ξ -

p/q >

c

1

q

- 2

for each

p/q ∈

or,equivalently,if ξ has bounded partial quotients in its continued fraction expansion. Thanks to H. Davenport and W. M. Schmidt, the badly approximable real numbers can also be described as those ξ ∈ ℝ \ ℚ for which the result of Dirichlet can be improved in the sense that there exists a constant c

2

< 1 such that the inequalities 1 ≤ x

0

X and

|x

0

ξ

- x

1

|≤

c

2

X

-1

admit a solution (x

0

, x

1

) ∈ ℤ

2

for each sufficiently large

X

(see Theorem 1 of [2]).

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Metadaten
Titel
On the Continued Fraction Expansion of a Class of Numbers
verfasst von
Damien Roy
Copyright-Jahr
2008
Verlag
Springer Vienna
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-211-74280-8_19