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2011 | OriginalPaper | Buchkapitel

15. On the Homogeneous Model of Euclidean Geometry

verfasst von : Charles Gunn

Erschienen in: Guide to Geometric Algebra in Practice

Verlag: Springer London

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Abstract

We attach the degenerate signature (n,0,1) to the dual Grassmann algebra of projective space to obtain a real Clifford algebra which provides a powerful, efficient model for Euclidean geometry. We avoid problems with the degenerate metric by constructing an algebra isomorphism between the Grassmann algebra and its dual that yields non-metric meet and join operators. We focus on the cases of n=2 and n=3 in detail, enumerating the geometric products between k-blades and m-blades. We identify sandwich operators in the algebra that provide all Euclidean isometries, both direct and indirect. We locate the spin group, a double cover of the direct Euclidean group, inside the even subalgebra of the Clifford algebra, and provide a simple algorithm for calculating the logarithm of group elements. We conclude with an elementary account of Euclidean kinematics and rigid body motion within this framework.

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Fußnoten
1
We use superscripts for W and subscripts for W since W will be the more important algebra for our purposes.
 
2
Note that the orientation of e 31 is reversed; this is traditional since Plücker introduced these line coordinates.
 
3
Editorial note: The reader may find the alternative coordinate-free construction in Sect. 18.​3 enlightening.
 
4
Blurring the distinction between these two spaces may have led some authors to incorrect conclusions about the homogeneous model of Euclidean geometry, see [21, p. 11].
 
5
Orientation is an interesting topic which lies outside the scope of this article.
 
6
In fact, the validity of most of the above calculations requires that I 2=0.
 
7
The presence of a minus sign (or “the factor (−1) nk ”) in some literature arises from the fact that the desired reflection is in the hyperplane orthogonal to the 1-vector appearing in the sandwich. Since 1-vectors represent hyperplanes here, in the dual algebra, no such correction factor is required.
 
8
A convention apparently introduced by Klein, see [18].
 
9
A polarity is an involutive projectivity that swaps points and planes.
 
10
Editorial note: This approach to dynamics may be compared to Chap. 1 and Chap. 18 elsewhere in this volume.
 
11
We restrict ourselves to the case of a finite set of mass points, since extending this treatment to a continuous mass distribution presents no significant technical problems; summations have to be replaced by integrals.
 
12
It remains to be seen if this approach represents an improvement over the linear algebra approach, which could also be maintained in this setting.
 
13
From corpus, Latin for body.
 
Literatur
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Metadaten
Titel
On the Homogeneous Model of Euclidean Geometry
verfasst von
Charles Gunn
Copyright-Jahr
2011
Verlag
Springer London
DOI
https://doi.org/10.1007/978-0-85729-811-9_15