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2022 | Buch

Operations Research

verfasst von: Prof. Dr. Stefan Nickel, Prof. Dr. Steffen Rebennack, Prof. Dr. Oliver Stein, Prof. Dr. Karl-Heinz Waldmann

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Das vorliegende Lehrbuch ist eine Einführung in das Operations Research, die mathematisch stringent vorgeht, ohne jedoch den Leser mit Beweisen zu überfrachten. Stattdessen werden die mathematischen Sachverhalte ausführlich begründet und durch weit mehr als einhundert Abbildungen illustriert. Das Buch ist gleichermaßen für Ingenieure, Mathematiker und Wirtschaftswissenschaftler geeignet.

Mit mehr als vierhundert Seiten stellen die Autoren genügend Auswahlmöglichkeiten zur Verfügung, um es als Grundlage für unterschiedlich angelegte Operations-Research-Vorlesungen zu verwenden. Darüber hinaus setzt dieses Buch an den richtigen Stellen neue Akzente und bereichert den Bestand der bisherigen Lehrbücher zu diesem Fachgebiet. Ein ausführlicher Anhang verdeutlicht die für das Verständnis des Buches notwendigen mathematischen Grundkonzepte, um den unterschiedlichen Voraussetzungen in der Vielfalt der Bachelor- und Masterprogramme Rechnung zu tragen.

Die korrigierte und erweiterte dritte Auflage dieses Buches erhält ein neues, ausführliches Kapitel zur stochastischen Optimierung.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
1. Kernkonzepte der linearen Optimierung
Zusammenfassung
Die lineare Optimierung (auch bekannt als lineare Programmierung) gehört zu den am weitesten verbreiteten Techniken des Operations Research. Sie zeichnet sich durch eine einfache Modellbildung und durch effiziente Lösungsverfahren aus. Ihre Zielsetzung, eine (affin-)lineare Funktion unter Nebenbedingungen, die in Form von linearen Gleichungen oder Ungleichungen auftreten, zu maximieren oder zu minimieren, macht sie universell einsetzbar. Ihre praktische Bedeutung liegt aber vor allem darin, dass auch „große“ Probleme mit einer Vielzahl von Variablen und Nebenbedingungen noch zufriedenstellend gelöst werden können.
Stefan Nickel, Steffen Rebennack, Oliver Stein, Karl-Heinz Waldmann
2. Erweiterungen und Anwendungen der linearen Optimierung
Zusammenfassung
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass in einem linearen Optimierungsproblem
Stefan Nickel, Steffen Rebennack, Oliver Stein, Karl-Heinz Waldmann
3. Graphentheorie
Zusammenfassung
Die Graphentheorie ist eine relativ neue und sich schnell entwickelnde Disziplin. Sie wird der diskreten Mathematik zugerechnet und hat inzwischen einen enormen Einfluss auf viele mathematische und außermathematische Bereiche erlangt. Erkenntnisse der Graphentheorie bilden den Kern von Navigationssystemen, von Projektplanungssoftware und ermöglichen das Erforschen sozialer Netzwerke. Ein weiterer Anwendungsschwerpunkt der Graphentheorie liegt in der Transportplanung. Beispielsweise besitzt ein im süddeutschen Raum agierender Computer-Händler ein Filialnetz wie in Abbildung 3.1 dargestellt. Da er Transporte zwischen den einzelnen Filialen und dem Lager in Pforzheim durchzuführen hat, möchte er kostenminimale Wege zwischen den einzelnen Filialen und dem Lager bestimmen.
Stefan Nickel, Steffen Rebennack, Oliver Stein, Karl-Heinz Waldmann
4. Netzplantechnik
Zusammenfassung
Die Planung und Durchführung komplexer Projekte, wie z.B. der Bau eines Gebäudes, die Entwicklung eines neuartigen Produkts oder die Planung einer Großveranstaltung, sind wesentliche Bestandteile des Projektmanagements. Da dieses mittlerweile in vielen Unternehmen eine zentrale Rolle spielt, wurde hierfür einegesonderte Deutsche Industrienorm (DIN 69901) eingeführt.
Stefan Nickel, Steffen Rebennack, Oliver Stein, Karl-Heinz Waldmann
5. Ganzzahlige Optimierung
Zusammenfassung
In Kapitel 1 und 2 haben wir uns im Rahmen der linearen Optimierung mit Problemstellungen beschäftigt, bei denen die Entscheidungsvariablen beliebige reelle Werte annehmen konnten, sofern sie alle Nebenbedingungen erfüllten. In vielen praktischen Problemstellungen wird jedoch gefordert, dass die Variablen nur ganzzahlige, natürliche oder binäre Werte annehmen. Die ganzzahlige (lineare) Optimierung (engl.: integer (linear) programming) beschäftigt sich mit der Optimierung linearer Zielfunktionen über einer Menge, die durch lineare Gleichungen und Ungleichungen eingeschränkt ist. Dürfen alle Variablen nur ganzzahlige Werte annehmen, so spricht man von (rein-)ganzzahliger Optimierung (engl.: integer programming); treten sowohl ganzzahlige als auch kontinuierliche Variablen auf, so spricht man von gemischt-ganzzahliger Optimierung (engl.: mixed integer programming). Das (rein-)ganzzahlige (lineare) Optimierungsproblem lautet in seiner allgemeinen Form
Stefan Nickel, Steffen Rebennack, Oliver Stein, Karl-Heinz Waldmann
6. Heuristiken
Zusammenfassung
Wie wir in Kapitel 5 gesehen haben, ist die Lösung eines ganzzahligen linearen Problems eine NP-schwere Aufgabe, so dass die vorgestellten exakten Verfahren im Allgemeinen einen exponentiellen Rechenaufwand besitzen. Aus diesem Grund greift man in vielen Anwendungen auf Heuristiken zurück, wenn der mit der Anwendung exakter Verfahren verbundene Rechenaufwand zu groß wird. Heuristiken sind demnach Verfahren zur Bestimmung eines guten, aber nicht notwendigerweise optimalen zulässigen Punktes eines Problems bei akzeptablem Aufwand. „Gut“ bedeutet in diesem Zusammenhang, dass der Zielfunktionswert des Punktes möglichst nahe am Optimalwert liegen soll. Der wesentliche Vorteil von Heuristiken liegt in ihrer meist polynomialen und damit relativ schnellen Rechengeschwindigkeit.
Stefan Nickel, Steffen Rebennack, Oliver Stein, Karl-Heinz Waldmann
7. Nichtlineare Optimierung
Zusammenfassung
Während in linearen Optimierungsproblemen die Zielfunktion und alle Nebenbedingungen durch lineare Funktionen modelliert werden, treten in vielen praktischen Anwendungen Nichtlinearitäten auf, durch die eine Darstellung als lineares Optimierungsproblem unmöglich wird. Beispielsweise entsteht beim Goal Programming (Abschnitt 2.3.4) bei Wahl der Abstandsfunktion mit q = 2 eine nichtlineare Zielfunktion, und auch das quadratische Zuordnungsproblem (Beispiel 5.4) besitzt eine nichtlineare Zielfunktion. Das letztere Beispiel unterscheidet sich von der in Kapitel 1 betrachteten linearen Optimierung sogar nicht nur durch das Auftreten von Nichtlinearitäten, sondern auch durch die Anwesenheit ganzzahliger Variablen. Für solche nichtlinearen ganzzahligen Optimierungsprobleme existieren nur in speziellen Fällen effiziente Lösungsansätze, so dass wir sie im Folgenden nicht weiter betrachten werden und auf die weiterführende Literatur verweisen ([16, 37]). Gegenstand des Kapitels 7 sind stattdessen nichtlineare kontinuierliche Optimierungsprobleme. Vertiefende Literaturstellen zu diesem Gebiet sind beispielsweise [1, 3, 21, 28, 29, 39, 49, 50].
Stefan Nickel, Steffen Rebennack, Oliver Stein, Karl-Heinz Waldmann
8. Stochastische Optimierung
Zusammenfassung
Bisher haben wir Optimierungsprobleme betrachtet, in denen die vorkommenden Daten zum Zeitpunkt der Entscheidungsfindung sicher gegeben sind. Wie werden aber „optimale“ Entscheidungen bei unsicheren (stochastischen) Daten getroffen? Wann ist eine Entscheidung bei unsicheren Daten überhaupt „optimal“? Ist es ein sinnvoller Ansatz, die unsicheren Daten einfach mit deren Erwartungswerten zu ersetzen und das resultierende deterministische Optimierungsproblem zu lösen? Mit diesen Fragen werden wir uns unter anderem in diesem Kapitel beschäftigen.
Stefan Nickel, Steffen Rebennack, Oliver Stein, Karl-Heinz Waldmann
9. Dynamische Optimierung
Zusammenfassung
Mehrstufige Entscheidungsprobleme begegnen uns im Alltag ständig. Sie treten immer dann auf, wenn eine zu treffende Entscheidung neben unmittelbaren Auswirkungen auch Konsequenzen auf zukünftige Entscheidungen haben kann. Wir haben es also nicht mit isoliert zu betrachtenden Entscheidungen zu tun, sondern mit einer Folge von Entscheidungen, die in einem engen Zusammenhang stehen. Das folgende einfache Beispiel verdeutlicht die Problematik: Ein Langstreckenläufer, der sich zum Ziel gesetzt hat, eine Meisterschaft zu erringen, wird dieses Ziel verfehlen, wenn er sich taktisch falsch verhält. Geht er das Rennen zu schnell an, so wird er das Tempo nicht durchhalten können und in der Endphase des Rennens zurückfallen. Geht er umgekehrt das Rennen zu langsam an und wird der Abstand zur Spitzengruppe zu groß, so wird er den Rückstand nicht mehr aufholen können. Er wird sich daher die Strecke gedanklich in Abschnitte einteilen und in jedem Abschnitt sein Laufverhalten auf das der Konkurrenten um den Titel und seine Leistungsfähigkeit abstimmen.
Stefan Nickel, Steffen Rebennack, Oliver Stein, Karl-Heinz Waldmann
10. Wartesysteme
Zusammenfassung
Ein Wartesystem besteht aus Kunden, die zu zufälligen Zeitpunkten an einer Bedienungsstation eintreffen, um Bedienung nachsuchen und nach Abschluss der Bedienung die Station wieder verlassen. Elementare Beispiele einesWartesystems sind Kunden, die an einem Fahrkartenschalter eintreffen, eine Fahrkarte kaufen und anschließend den Fahrkartenschalter wieder verlassen oder Maschinen, die bei Ausfall von einem freien Mechaniker zu reparieren sind (vgl. Bsp. 10.1).
Stefan Nickel, Steffen Rebennack, Oliver Stein, Karl-Heinz Waldmann
Backmatter
Metadaten
Titel
Operations Research
verfasst von
Prof. Dr. Stefan Nickel
Prof. Dr. Steffen Rebennack
Prof. Dr. Oliver Stein
Prof. Dr. Karl-Heinz Waldmann
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-65346-3
Print ISBN
978-3-662-65345-6
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65346-3

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