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01.12.2015 | Research | Ausgabe 1/2015 Open Access

Journal of Inequalities and Applications 1/2015

Optimal evaluation of a Toader-type mean by power mean

Zeitschrift:
Journal of Inequalities and Applications > Ausgabe 1/2015
Autoren:
Ying-Qing Song, Tie-Hong Zhao, Yu-Ming Chu, Xiao-Hui Zhang
Wichtige Hinweise

Competing interests

The authors declare that they have no competing interests.

Authors’ contributions

All authors contributed equally to the writing of this paper. All authors read and approved the final manuscript.

Abstract

In this paper, we present the best possible parameters \(p, q\in\mathbb {R}\) such that the double inequality \(M_{p}(a,b)< T[A(a,b), Q(a,b)]< M_{q}(a,b)\) holds for all \(a, b>0\) with \(a\neq b\), and we get sharp bounds for the complete elliptic integral \(\mathcal{E}(t)=\int _{0}^{\pi/2}(1-t^{2}\sin^{2}\theta)^{1/2}\,d\theta\) of the second kind on the interval \((0, \sqrt{2}/2)\), where \(T(a,b)=\frac{2}{\pi }\int _{0}^{\pi/2}\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta+b^{2}\sin^{2}\theta}\,d\theta\), \(A(a,b)=(a+b)/2\), \(Q(a,b)=\sqrt{(a^{2}+b^{2})/2}\), \(M_{r}(a,b)=[(a^{r}+b^{r})/2]^{1/r}\) (\(r\neq0\)), and \(M_{0}(a,b)=\sqrt {ab}\) are the Toader, arithmetic, quadratic, and rth power means of a and b, respectively.

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