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01.09.2014 | Ausgabe 4/2014

Mathematics and Financial Economics 4/2014

Optimal mass transport and symmetric representations of their cost functions

Zeitschrift:
Mathematics and Financial Economics > Ausgabe 4/2014
Autoren:
Nassif Ghoussoub, Abbas Moameni
Wichtige Hinweise
Nassif Ghoussoub and Abbas Moameni were partially supported by grants from the Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada.
Dedicated to Ivar Ekeland on his 70th Birthday.

Abstract

We consider Monge–Kantorovich problems corresponding to general cost functions \(c(x,y)\) but with symmetry constraints on a Polish space \(X\times X\). Such couplings naturally generate anti-symmetric Hamiltonians on \(X\times X\) that are \(c\)-convex with respect to one of the variables. In particular, if \(c\) is differentiable with respect to the first variable on an open subset \(X\) in \( \mathbb {R}^d\), we show that for every probability measure \(\mu \) on \(X\), there exists a symmetric probability measure \(\pi _0\) on \(X\times X\) with marginals \(\mu \), and an anti-symmetric Hamiltonian \(H\) such that \(\nabla _2H(y, x)=\nabla _1c(x,y)\) for \( \pi _0\)-almost all \((x,y) \in X \times X.\) If \(\pi _0\) is supported on a graph \((x, Sx)\), then \(S\) is necessarily a \(\mu \)-measure preserving involution (i.e., \(S^2=I\)) and \(\nabla _2H(x, Sx)=\nabla _1c(Sx,x)\) for \(\mu \)-almost all \(x \in X.\) For monotone cost functions such as those given by \(c(x,y)=\langle x, u(y)\rangle \) or \(c(x,y)=-|x-u(y)|^2\) where \(u\) is a monotone operator, \(S\) is necessarily the identity yielding a classical result by Krause, namely that \(u(x)=\nabla _2H(x, x)\) where \(H\) is anti-symmetric and concave-convex.

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