nach oben

Erschienen in:

2023 | OriginalPaper | Buchkapitel

5. Optimales Portfolio

verfasst von : Enzo Mondello

Erschienen in: Finance: Investments

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Einloggen

Aktivieren Sie unsere intelligente Suche, um passende Fachinhalte oder Patente zu finden.

search-config

KI-gestützte Suche

Aus

Zusammenfassung

Für das Erreichen der Anlageziele ist zusätzlich zu den Rendite-Risiko-Eigenschaften der Anlagen auch die Risikoeinstellung des Investors zu berücksichtigen. In diesem Kapitel wird gezeigt, wie die Effizienzkurve mit den investorenspezifischen Indifferenzkurven kombiniert wird, um zum optimalen risikobehafteten Portfolio zu gelangen. Die Effizienzkurve wird anhand von Kapitalmarktdaten mit der erwarteten Rendite und der Standardabweichung der Renditen von einzelnen Anlagen sowie der Kovarianz bzw. dem Korrelationskoeffizienten zwischen den Renditen von jeweils zwei Anlagen erstellt. Die Indifferenzkurven hingegen messen den Nutzen des Anlegers, der aus dem Halten des Portfolios entsteht. Dabei ist neben der Renditeerwartung und dem Risiko der Grad der Risikoaversion eines einzelnen Investors relevant. Der Berührungspunkt zwischen der Effizienzkurve und der höchstmöglichen anlegerspezifischen Indifferenzkurve stellt das optimale Portfolio von risikobehafteten Anlagen dar. Wird die risikolose Anlage in die Portfoliokonstruktion eingebunden, liegt das optimale Portfolio auf der effizientesten Kapitalallokationslinie. Unterstellt man, dass die Teilnehmer auf dem Markt identische (homogene) Erwartungen in Bezug auf die Kapitalmarktdaten von Anlagen haben, dann investieren sämtliche Anleger in das gleiche risikobehaftete Portfolio bzw. in das Marktportfolio. Sämtliche Anlagekombinationen zwischen der risikolosen Anlage und dem Marktportfolio liegen auf der Kapitalmarktlinie.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

über 102.000 Bücher
über 537 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Automobil + Motoren
Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Elektrotechnik + Elektronik
Energie + Nachhaltigkeit
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Maschinenbau + Werkstoffe
Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Wirtschaft"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft" erhalten Sie Zugriff auf:

über 67.000 Bücher
über 340 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Vorheriges Kapitel Effiziente risikobehaftete Portfolios

Nächstes Kapitel Capital Asset Pricing Model und Fama-French-Modell

Nur mit Berechtigung zugänglich

Der Erwartungswert unter Unsicherheit berechnet sich als Summe der wahrscheinlichkeitsgewichteten Auszahlungen wie folgt: 0,5 × EUR 200 + 0,5 × EUR 0 = EUR 100.

Vgl. Reilly und Brown 2000: Investment Analysis and Portfoliomanagement, S. 259.

Vgl. Gwartney et al. 2000: Economics, Private and Public Choice, S. 912.

Für die Berechnung des Nutzens sind die erwartete Rendite und die Standardabweichung der Renditen in Dezimalstellen und nicht in Prozenten in die Formel einzugeben.

Für einen standardisierten Fragebogen zur Risikobeurteilung vgl. Abschn. 7.2.1.1.

Vgl. Reilly und Brown 2000: Investment Analysis and Portfolio Management, S. 230.

Der Korrelationskoeffizient zwischen den Renditen der risikolosen Anlage und des risikobehafteten Portfolios ist ebenfalls 0, weil bei der risikolosen Anlage keine Renditeschwankungen vorliegen, während das Portfolio von risikobehafteten Anlagen volatile Renditen aufweist.

Die Gleichung für das optimale Gewicht der Anlage 1 kann wie folgt hergeleitet werden: In die Gleichung der Sharpe Ratio werden für das Tangentialportfolio die erwartete Rendite w₁E(r₁) + (1 − w₁)E(r₂) und die Standardabweichung der Renditen \( \sqrt{{\mathrm{w}}_1^2{\sigma}_1^2+{\left(1-{\mathrm{w}}_1\right)}^2{\sigma}_2^2+2{\mathrm{w}}_1\left(1-{\mathrm{w}}_1\right){\rho}_{1,\ 2}{\sigma}_1{\sigma}_2} \) eingesetzt. Die Sharpe Ratio wird nach dem Gewicht der Anlage 1 (w₁) abgeleitet, gleich 0 gesetzt und nach w₁ aufgelöst.

Die Gleichung für die Nutzenmaximierung kann wie folgt aufgeführt werden: \( \mathit{\operatorname{Max}}\ \mathrm{U}=\mathrm{E}\left({\mathrm{r}}_{\mathrm{TP}}\right)-\frac{1}{2}\mathrm{A}{\sigma}_{\mathrm{TP}}^2. \) Werden in der Gleichung die erwartete Rendite des Tangentialportfolios von E(r_TP) mit r_F + w_TP [E(r_TP) − r_F] und die Varianz des Tangentialportfolios von \( {\sigma}_{\mathrm{TP}}^2 \) mit \( {\mathrm{w}}_{\mathrm{TP}}^2{\sigma}_{\mathrm{TP}}^2 \) ersetzt, erhält man für die Nutzenmaximierung folgende Gleichung: \( \mathit{\operatorname{Max}}\ \mathrm{U}={\mathrm{r}}_{\mathrm{F}}+{\mathrm{w}}_{\mathrm{TP}}\left[\mathrm{E}\left({\mathrm{r}}_{\mathrm{TP}}\right)-{\mathrm{r}}_{\mathrm{F}}\right]-\frac{1}{2}{\mathrm{Aw}}_{\mathrm{TP}}^2{\sigma}_{\mathrm{TP}}^2 \). Um das Maximierungsproblem zu lösen, muss die Gleichung nach dem Gewicht des Tangentialportfolios abgeleitet und gleich 0 gesetzt werden: \( 0=\mathrm{E}\left({\mathrm{r}}_{\mathrm{TP}}\right)-{\mathrm{r}}_{\mathrm{F}}-{\mathrm{w}}_{\mathrm{TP}}\mathrm{A}{\sigma}_{\mathrm{TP}}^2. \) Wird die Gleichung nach dem Gewicht des Tangentialportfolios aufgelöst, gelangt man zur Gl. 5.11. Vgl. Mondello 2015: Portfoliomanagement: Theorie und Anwendungsbeispiele, S. 154 ff.

Die erwartete Rendite einer neuen Anlage lässt sich aufgrund des Rendite-Risiko-Trade-offs mit dem bestehenden Portfolio wie folgt berechnen: \( \mathrm{E}\left({\mathrm{r}}_{\mathrm{neu}}\right)={\mathrm{r}}_{\mathrm{F}}+\left[\mathrm{E}\right({\mathrm{r}}_{\mathrm{P}}-{\mathrm{r}}_{\mathrm{F}}\Big]\left(\frac{\sigma_{\mathrm{neu}}{\rho}_{\mathrm{neu},\mathrm{P}}}{\sigma_{\mathrm{P}}}\right) \). Die Bedingung, dass das Hinzufügen einer neuen Anlage die risikoadjustierte Rendite des Portfolios erhöht, lässt sich festlegen, indem auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens die Sharpe Ratio verwendet wird. Dies führt zur Gl. 5.12. Vgl. Elton et al. 1987: Professionally managed, publicly traded commodity funds, S. 198.

Vgl. Abschn. 4.4.

Der S&P 500 (Standard & Poor’s 500) umfasst die 500 Aktien der gemessen an der Marktkapitalisierung größten Unternehmen in den USA.

Vgl. Tobin 1958: Liquidity preference as behavior towards risk, S. 65 ff.

Elton, E.J., Gruber, M.J., Rentzler, J.C.: Professionally managed, publicly traded commodity funds. J. Business. 60(2), 175–199 (1987)CrossRef

Gwartney, J. D., Stroup, R. L., Sobel, R. S.: Economics, Private and Public Choice, 9. Aufl. South-Western Cengage Learning, Mason (2000)

Mondello, E.: Portfoliomanagement: Theorie und Anwendungsbeispiele, 2. Aufl. Springer Gabler, Wiesbaden (2015)

Reilly, F. K., Brown, K. C.: Investment Analysis and Portfolio Management, 6. Aufl. South-Western Cengage Learning, Jefferson City (2000)

Tobin, J.: Liquidity preference as behavior towards risk. Rev. Econom. Stud. 25(2), 65–86 (1958)CrossRef

Titel: Optimales Portfolio
verfasst von: Enzo Mondello
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Buch: Finance: Investments
Print ISBN: 978-3-658-36803-6

Electronic ISBN: 978-3-658-36804-3

Copyright-Jahr: 2023
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-36804-3_5