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2022 | Buch

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Panorama der Mathematik

verfasst von: Andreas Loos, Prof. Rainer Sinn, Prof. Dr. Günter M. Ziegler

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

„Was ist Mathematik?” – auf diese Frage gibt dieses dicke Buch zahllose Antworten. Mathematik ist eben viel mehr als ein Schul- und Studienfach oder Rechnen: Es ist Teil der menschlichen Kultur, ein riesiges aktives Forschungsgebiet und ein nützlicher Werkzeugkasten.

„Was ist Mathematik?” – statt einer einzelnen Antwort zeichnen die Autoren ein Panorama, bunt und vielfältig. Da geht es um Philosophie, Beweise, große und kleine Probleme, fundamentale Konzepte, Teilgebiete, Forschungspraxis, Anwendungen der Mathematik. Und um Geschichten aus der Geschichte.

Das Buch richtet sich an alle, die wissen und darüber nachdenken wollen, was Mathematik ist, insbesondere auch an Studierende der Mathematik. Es begleitet eine Vorlesung, die an der Freien Universität Berlin jährlich vor allem für Lehramtsstudierende angeboten wird.

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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Was ist Mathematik?

Frontmatter

Was ist Mathematik?

Zusammenfassung

„Was ist Mathematik?“ Das ist die zentrale Frage dieses Buches. In diesem Kapitel präsentieren wir einige Definitionsversuche, skizzieren Beschreibungen aus sehr unterschiedlichen Perspektiven und tauchen damit ein in die Vielfalt und Komplexität all dessen, was unter dem Begriff „Mathematik“ zusammengefasst wird.

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Mathematische Forschung

Zusammenfassung

Wie funktioniert mathematische Forschung? Dieses Kapitel skizziert den Prozess von der Wahl der Fragestellungen und Probleme über die Problemlösung und das Aufschreiben bis zur Publikation.

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Beweise

Zusammenfassung

Beweise stehen im Zentrum der Mathematik: Was bewiesen ist, das gilt, und zwar für immer. Aber was ist ein Beweis, wie muss er formuliert, formalisiert und präsentiert werden, damit er akzeptiert werden kann? Diese Fragen stellen sich immer wieder neu, auch weil Beweismethoden, Präsentationsweisen und Überprüfungsmechanismen weiterentwickelt werden und weil sie voneinander abhängen. Inzwischen spielen auch der Zufall und die Computer wichtige Rollen.

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Formeln, Zeichnungen und Bilder

Zusammenfassung

Wenn auch die Mathematik viel mehr ist als Novalis’ „Zahlen und Figuren“: Die Erfindung von Zahlzeichen, Notation und Formelsprache einerseits sowie die Entwicklung von Bildern, Zeichnungen und Visualisierungsverfahren andererseits sind ausgesprochen wichtig für den Fortschritt der Mathematik. „Verstehen“ und „sich vorstellen können“ heißt eben auch: in Formeln, Zeichnungen und Bilder übersetzen.

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Philosophie der Mathematik

Zusammenfassung

Die Philosophie der Mathematik ist ein großes Thema: Man kann damit dicke Bücher füllen, denn je nach Denkart und Wissensstand der Zeit haben Mathematiker sehr unterschiedliche philosophische Konzepte und Begründungen für ihr Tun entwickelt. Was sich zunächst nach einem theoretischen Überbau anhört, führte zu sehr realen Rückkopplungen in die Wissenschaft selbst: Ein Intuitionist sieht die Mathematik nicht nur anders als ein Formalist, er macht auch eine andere Mathematik.

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Konzepte

Frontmatter

Primzahlen

Zusammenfassung

„Sie wachsen wie Unkraut unter den natürlichen Zahlen, scheinbar keinem anderen Gesetz als dem Zufall unterworfen, und kein Mensch kann voraussagen, wo wieder eine sprießen wird“, sagte der Zahlentheoretiker Don Zagier einmal von den Primzahlen [545]. Zugleich ergibt die Verteilung der Primzahlen viele spannende ungelöste Fragen, und sie führt auch auf tiefliegende Strukturen, die man in der Zahlentheorie mit algebraischen und analytischen Methoden untersucht.

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Zahlenbereiche

Zusammenfassung

Zahlen sind der Grundstock der Mathematik. Doch was sind Zahlen? Und was für Zahlen gibt es? In diesem Kapitel werden wir uns einige Arten von Zahlen näher ansehen. Wir werden erklären, wie man die natürlichen Zahlen aus Mengen „erzeugen“ kann, wie sich die reellen Zahlen definieren lassen und wie manche Zahlenmengen entdeckt bzw. erfunden wurden. Und wir werden einige Beispiele für Zahlen kennenlernen, von denen man in der Schule nichts hört – hyperreelle Zahlen, p-adische Zahlen, und auch die sogenannten Perioden, die erst gut 20 Jahre alt sind.

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Unendlichkeit

Zusammenfassung

„Das Unendliche hat so tief wie keine andere Frage von jeher das Gemüt der Menschen bewegt; das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so anregend und fruchtbar gewirkt; das Unendliche ist aber auch wie kein anderer Begriff so der Aufklärung bedürftig“, behauptete David Hilbert 1927 [237]. In diesem Kapitel wollen wir der Neugier nachgehen, die Mathematiker über Jahrtausende angetrieben hat, das Unendliche zu erforschen – und dem, was sie getan haben, um sich des Gefühls des Unwohlseins dabei zu entledigen.

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Dimensionen

Zusammenfassung

Die Zeichenebene ist zweidimensional, wir bewegen uns in einem dreidimensionalen Raum. Was heißt das? Man kann Raum und Zeit zusammenfassen und das Ergebnis dann als vierdimensionale Raumzeit interpretieren. Aber wissen wir damit, was „Dimension“ ist? Viele mathematische Disziplinen arbeiten mit noch mehr Dimensionen, mit hochdimensionalen oder sogar unendlich-dimensionalen Räumen und Objekten. Wenn überhaupt, dann ist es nur mit Tricks möglich, sich so etwas vorzustellen (siehe Kapitel „Formeln, Zeichnungen und Bilder“, S. 95 ff.).

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Zufall – Wahrscheinlichkeiten – Statistik

Zusammenfassung

Viele Prozesse und Ereignisse im täglichen Leben sind zufällig, oder wirken zumindest so; sie sind also gar nicht oder nur schwer vorhersagbar. Trotzdem müssen wir versuchen, Zufall präzise zu beschreiben und mit mathematischen Konzepten zu erfassen, also Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik zu entwickeln. Wir sprechen dabei zum Beispiel von Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerten – und bei geeigneter Modellierung sind das mathematische Größen, die berechnet werden können. Die Statistik liefert wesentliche Hilfsmittel zur Beschreibung der Welt und die Wahrscheinlichkeitstheorie ergibt tiefliegende Regelmäßigkeiten in Zufallsprozessen, etwa den zentralen Grenzwertsatz.

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Funktionen

Zusammenfassung

Funktionen sind ein zentrales Konzept der Mathematik – aber was ist eine Funktion? Darüber wurde seit dem 18. Jahrhundert viel diskutiert. Wie viele grundlegende Begriffe in der Mathematik hat auch der Begriff der Funktion einen langen, gewundenen Weg der Entwicklung zum modernen Konzept genommen, mit ganz unterschiedlichen Vorstellungen davon, was eine Funktion theoretisch sein kann und im konkreten praktischen Beispiel sein soll.

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Mathematik im Alltag

Frontmatter

Anwendungen

Zusammenfassung

„Ob ich die Mathematik auf ein Paar Dreckklumpen anwende, die wir Planeten nennen, oder auf rein arithmetische Probleme, es bleibt sich gleich, die letztern haben nur noch einen höhern Reiz für mich“, soll Gauß gesagt haben. Und: Die Arithmetik lasse sich oft herab, um der Astronomie und anderen Naturwissenschaften einen Dienst zu erweisen [518, S. 101 bzw. 79]. Aus unserer Sicht ist es ein Geben und Nehmen auf gleicher Augenhöhe zwischen Mathematik und anderen Wissenschaften. Oft zerfließen sogar die Grenzen zwischen beidem – man denke an die theoretische Physik oder Informatik. In diesem Kapitel blicken wir von der Mathematik aus über den Tellerrand und stellen in einigen Beispielen dar, wo und wie sich Mathematik im Rest der Welt nützlich gemacht hat.

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Rechnen

Zusammenfassung

Bei wenigen Themen klaffen Selbst- und Fremdwahrnehmung der Mathematik so auseinander wie beim Rechnen: Während die moisten Laien der festen Überzeugung sind, dass Rechnen eine Kernaufgabe in der Mathematik sei, würde kaum eine Person, die sich mit mathematischer Forschung beschäftigt, ihre Tätigkeit als „Rechnen“ beschreiben. Nicht von ungefähr hielt Hilbert einmal in seinem Tagebuch fest, die Mathematik sei „nicht die Kunst des Rechnens, sondern die Kunst des Nichtrechnens“ [223]. Dennoch spielt das Wissenschaftliche Rechnen in der modernen Mathematik durchaus eine zentrale Rolle.

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Algorithmen und Komplexität

Zusammenfassung

Ein Algorithmus ist eine Folge von Handlungsanweisungen, mit denen sich alle mathematischen Aufgaben eines gewissen Typs Schritt für Schritt lösen lassen. Schon in der Antike waren die Menschen auf der Suche nach derartigen Anleitungen für Berechnungen. So entstanden die ersten Algorithmen lange vor den Computern. Aber erst mit dem Siegeszug der Computer wurden sie selbst zum Untersuchungsgegenstand der Mathematik.

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Mathematik in der Öffentlichkeit

Zusammenfassung

„Was ist Mathematik?“ haben wir in den ersten Kapiteln gefragt, und untersucht, was die Fachwelt für Mathematik hält. In diesem letzten Kapitel geht es nun darum, was Laien über Mathematik denken. Wir sehen uns einige Quellen an, aus denen sich Vorstellungen und Stereotype über Mathematik speisen: Schulen, Medien, Pressestellen und PR-Arbeit. Zusammen genommen erzeugen sie ein komplexes Geflecht aus Ursachen und Wirkungen – und ein sehr vielfältiges Bild von Mathematik.

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Backmatter

Titel: Panorama der Mathematik
verfasst von: Andreas Loos
Prof. Rainer Sinn
Prof. Dr. Günter M. Ziegler
Copyright-Jahr: 2022
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-54873-8
Print ISBN: 978-3-662-54872-1
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-54873-8

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