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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

5. Parameterschätzung in stationären ARMA-Modellen

verfasst von: Klaus Neusser, Martin Wagner

Erschienen in: Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Auszug

Die Identifikation und Schätzung der Parameter eines ARMA( p, q)-Modells für eine gegebene Realisation eines stationären Prozesses bringt einige miteinander verknüpfte Schritte mit sich. Zuerst sind die Ordnungen p und q zu bestimmen. Anschließend müssen für gegebene Ordnungen p und q die Parameter des Modells geschätzt werden. Schließlich muss das Modell überprüft und seine Spezifikation, in Bezug auf p und q, aber auch bezüglich zusätzlicher bisher noch nicht berücksichtigter Faktoren (z. B. Trend, Saisonalität, Strukturbrüche, etc.), möglicherweise revidiert werden. Dieser iterative Prozess muss solange fortgesetzt werden bis ein „akzeptables“ Modell gefunden ist. Dabei werden in der Praxis oft verschiedene Kriterien (Anpassungsgüte, Prognosegenauigkeit, Plausibilität, Signifikanz der Parameter, Komplexität des Modells, etc.) zur Beurteilung eines Modells verwendet. Da sich diese Kriterien bei einer gegebenen Stichprobe manchmal widersprechen, kann für die empirische Praxis nicht von der Existenz des besten Modells ausgegangen werden. …
Fußnoten
1
Im Fall eines stationären AR-Prozesses sind sowohl Γp als auch \(\widehat {\varGamma }_p\) invertierbare Matrizen.
 
2
Man vergleiche dazu die Ausführungen zur PACF in Abschn. 4.​3.​3.
 
3
Multiples Testen bei gleichbleibendem Signifikanzniveau ist zwar nicht konsistent, doch eine einfache und praktikable Lösung.
 
4
Der letzte Fall kann allerdings nur auftreten, wenn der datengenerierende Prozess kein MA(1)-Prozess ist, aber fälschlicherweise ein solcher bei der Schätzung unterstellt wird.
 
5
Es gilt folgendes Resultat: \(\lim _{T \to \infty } m \cdot F_{m,T-k} \sim \chi ^2_m\), wobei wie üblich m die Anzahl der Restriktionen darstellt, T die Stichprobengröße und k die Anzahl der Parameter, die (im unrestringierten) Modell geschätzt werden. Dieses Resultat impliziert, wie im Text beschrieben, dass m mal die F-Statistik unter der betrachteten Nullhypothese in Verteilung gegen eine \(\chi _m^2\)-Verteilung konvergiert, die F-Statistik selbst hingegen konvergiert nicht gegen eine Standardverteilung.
 
6
Wenn der Prozess nicht Erwartungswert null hat, so kann dieser durch das arithmetische Mittel geschätzt und von den Daten subtrahiert werden.
 
7
Wie aus einem gegebenen ARMA-Modell, d. h. aus einem gegebenen β, die entsprechende Autokovarianzfunktion γ bzw. ΓT und somit GT berechnet werden kann, wurde in Abschn. 2.​5 beschrieben.
 
8
Der zweite Teil ergibt sich analog aus der Ableitung nach β.
 
9
Existenz und Eindeutigkeit des Schätzers werden an dieser Stelle vorausgesetzt.
 
10
Für die Definition und Berechnung von \(\widehat {X}_t\), siehe Abschn. 4.​1.
 
11
Für Details siehe Brockwell und Davis [43] und Fan und Yao [99].
 
12
Für T ≥ 16 gilt \(1<\ln {\ln {T}}<\ln {T}\). Daher gilt stets AIC < HQ < BIC.
 
13
Die Daten wurden als „real gross domestic product per capita (A939RX0Q048SBEA)“ am 8. April 2021 der Datenbank FRED der Federal Reserve Bank St. Louis entnommen. Alle Berechnungen in diesem Abschnitt wurden mit der Econometrics Toolbox von MATLAB durchgeführt. Die Parameterschätzungen beruhen auf der Maximum-Likelihood-Methode. Da diese Methode auf numerische Verfahren zurückgreift, können, vor allem wenn MA-Terme im Spiel sind, Unterschiede zu den Berechnungen anderer Softwarepakete auftreten. Die entsprechenden Daten und Codes sind auf der Homepage zu diesem Buch zu finden.
 
14
Beispiele finden Sie auch auf https://​www.​aau.​at/​neusser-wagner.
 
15
Die Zeitreihe sollte bereits saisonbereinigt sein.
 
Literatur
43.
Zurück zum Zitat Brockwell, P.J., Davis, R.A.: Time Series: Theory and Methods, 2. Aufl. Springer, New York (1991) CrossRef Brockwell, P.J., Davis, R.A.: Time Series: Theory and Methods, 2. Aufl. Springer, New York (1991) CrossRef
99.
Zurück zum Zitat Fan, J., Yao, Q.: Nonlinear Time Series. Springer, New York (2003) MATH Fan, J., Yao, Q.: Nonlinear Time Series. Springer, New York (2003) MATH
112.
Zurück zum Zitat Ghysels, E., Osborn, D.R.: The Econometric Analysis of Seasonal Time Series. Themes in Modern Econometrics. Cambridge University Press, Cambridge (2001) CrossRef Ghysels, E., Osborn, D.R.: The Econometric Analysis of Seasonal Time Series. Themes in Modern Econometrics. Cambridge University Press, Cambridge (2001) CrossRef
146.
Zurück zum Zitat Hylleberg, S.: Seasonality in Regression. Academic, Orlando (1986) MATH Hylleberg, S.: Seasonality in Regression. Academic, Orlando (1986) MATH
Metadaten
Titel
Parameterschätzung in stationären ARMA-Modellen
verfasst von
Klaus Neusser
Martin Wagner
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64650-2_5

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