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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

25. Parametrische Tests für normalverteilte Stichproben

verfasst von : Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

Erschienen in: Statistik für Ökonomen

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Der statistische Test und das Konfidenzintervall beruhen auf den gleichen statistischen Prinzipien und sind Teil der induktiven Statistik. Bei einem statistischen Test wird ein Hypothesenpaar, bestehend aus einer Nullhypothese \(H_0\) und einer Alternativhypothese \(H_1\), anhand einer statistischen Verteilung überprüft.

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Fußnoten
1
Für das Hypothesenpaar \(H_0: \mu _X \le \mu _0\) gegen \(H_1: \mu _X > \mu _0\) ist die Gütefunktion
$$\begin{aligned} g(\mu _X) = \text {Pr}\left( \frac{\bar{X}_n - \mu _0}{\frac{\sigma _X}{\sqrt{n}}} > z_{1-\alpha } \mid \mu _X \right) \end{aligned}$$
und für das Hypothesenpaar \(H_0: \mu _X = \mu _0\) gegen \(H_1: \mu _X \ne \mu _0\)
$$\begin{aligned} g(\mu _X)=\text {Pr}\left( \frac{\bar{X}_n - \mu _0}{\frac{\sigma _X}{\sqrt{n}}} < z_{\frac{\alpha }{2}} \mid \mu _X \right) + \text {Pr}\left( \frac{\bar{X}_n - \mu _0}{\frac{\sigma _X}{\sqrt{n}}} > z_{1-\frac{\alpha }{2}} \mid \mu _X \right) \end{aligned}$$
 
2
Entsprechend erhält man für einen rechtsseitige Test
$$\begin{aligned} g(\mu _X) = 1 - F_{Z_n} \left( z_{1-\alpha } - \frac{\mu _X - \mu _0}{\sigma _X} \, \sqrt{n}\right) \end{aligned}$$
und für einen zweiseitigen Test
$$\begin{aligned} g(\mu _X) = F_{Z_n} \left( z_\frac{\alpha }{2} - \frac{\mu _X - \mu _0}{\sigma _X} \, \sqrt{n}\right) + 1 - F_{Z_n} \left( z_{1-\frac{\alpha }{2}} - \frac{\mu _X - \mu _0}{\sigma _X} \, \sqrt{n}\right) \end{aligned}$$
 
3
Für einen rechtsseitigen Test ist die Identität
$$\begin{aligned} \mu _0 + z_{1-\alpha }\,\frac{\sigma }{\sqrt{n}} {\mathop {=}\limits ^{!}} \mu _1 + z_{\beta }\,\frac{\sigma }{\sqrt{n}} \end{aligned}$$
zu verwenden. Das Ergebnis für n unterscheidet sich nicht. Für einen zweiseitigen Test ist \(z_{1-\frac{\alpha }{2}}\) einzusetzen. Der Fehler 2. Art wird nicht halbiert, sodass weiterhin \(z_{\beta }\) verwendet wird.
 
Metadaten
Titel
Parametrische Tests für normalverteilte Stichproben
verfasst von
Wolfgang Kohn
Riza Öztürk
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64754-7_25