86. Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung

Bei einer gewöhnlichen Differentialgleichung (gDGL) wird eine Funktion \(x=x(t)\) in einer Variablen t gesucht, die eine Gleichung löst, in der die Funktion x und Ableitungen von x nach t erscheinen. Bei einer partiellen Differentialgleichung (pDGL) wird eine Funktion u in mehreren Variablen, üblicherweise \(u = u(x,t)\) bzw. \(u = u(x,y)\) oder \(u = u(x,y,z,t)\), gesucht, wobei u eine Gleichung erfüllt, die neben u auch partielle Ableitungen von u nach den verschiedenen Variablen enthält. Die Maxwell’schen Gleichungen, die Navier-Stokesgleichung, die Schrödingergleichung, ... das sind partielle Differentialgleichungen, denen ganze Wissenschaften zugrunde liegen. Neben diesen gibt es viele weitere partielle Differentialgleichungen, die bei allen möglichen Fragestellungen der Technik und Naturwissenschaften auftreten. Es ist sicher keine Übertreibung, zu behaupten, dass der weite Themenkreis partielle Differentialgleichungen zu den wichtigsten und fundamentalsten Gebieten der angewandten Mathematik gehört und in fast sämtlichen grundlegenden Fächern der ingenieur- und naturwissenschaftlichen Studiengängen Einzug hält. So wichtig und grundlegend das Gebiet ist, so undurchdringbar bzw. endlos erscheinen die Theorie und die Lösungsverfahren partieller Differentialgleichungen. Wir können im Rahmen dieses Buches das Thema nur knapp anschneiden und in gewisser Weise nur ein Sprungbrett bilden, um den Leser in ein Meer von partiellen Differentialgleichungen und möglichen Lösungsverfahren zu entlassen. Üblicherweise beginnt man das Thema partielle Differentialgleichungen mit einer Typeneinteilung oder Herleitungen. Wir weichen von dieser Tradition ab. Wir wollen mit einem positiven Signal das Thema beginnen und verschaffen uns in diesem ersten Kapitel Lösungsverfahren zu den einfachsten Typen partieller Differentialgleichungen. In der Praxis hat man es mit komplizierteren Gleichungen zu tun. Aber einige wesentliche Aspekte lernt man bereits bei diesen einfachen Typen.