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Über dieses Buch

Das Buch führt in die Theorie der Partiellen Differentialgleichungen ein, lediglich die Grundvorlesungen der Analysis werden vorausgesetzt. Eine Vielzahl linearer und nichtlinearer Differentialgleichungen wird mit Modellierungsansätzen motiviert und rigoros analysiert. Nach den klassischen linearen Problemen der Potentialtheorie und Wärmeleitung werden insbesondere nichtlineare Probleme aus der Theorie poröser Medien, der Strömungsmechanik und der Festkörpermechanik behandelt. Entlang der Aufgabenstellungen von zunehmender Komplexität werden moderne Methoden und Theorien der Analysis entwickelt.​

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einführung und Grundlagen

Frontmatter

1. Modellierung mit Partiellen Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Partielle Differentialgleichungen beschreiben Phänomene unserer Umwelt — Vorgänge in der Natur, physikalische Systeme und technische Prozesse. Um eine Beobachtung zu verstehen, ist der erste Schritt die Beschreibung des beobachteten Systems mit Gleichungen. Dieser Prozess heißt die Modellierung des Systems. Bevor wir beginnen, die Theorie der Partiellen Differentialgleichungen zu entwickeln, wollen wir die Modellierung eines physikalischen Vorganges an einem Beispiel illustrieren.
Ben Schweizer

2. Erste Eigenschaften von Lösungen

Zusammenfassung
Wir wenden uns nun der mathematischen Seite der Gleichungen zu. In diesem Kapitel stellen wir einige elementar beweisbare Aussagen über Lösungen verschiedener Gleichungen zusammen. Sie sollen ein erstes Gefühl für die Gleichungen vermitteln. Insbesondere werden wir die Problematik der Randbedingungen kennenlernen.
Ben Schweizer

3. Grundlagen für einen verallgemeinerten Lösungsbegriff

Zusammenfassung
Wir erinnern in diesem Abschnitt an die Begriffsbildungen beim Gauß’schen Satz, insbesondere an Lipschitz-Gebiete und Randintegrale. In einfachen Versionen sollten die Konzepte aus einer Grundvorlesung zur Analysis vertraut sein. Wir geben hier dennoch eine kompakte Übersicht. Unser Ziel ist dabei insbesondere, Grundlagen zu legen für den Gauß’schen Satz für Sobolevfunktionen und für den Spursatz.
Ben Schweizer

4. Schwache Konvergenz

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden weitere Grundlagen für die Theorie der Partiellen Differentialgleichungen besprochen. Zentrale Begriffe sind hierbei die schwache Konvergenz und die Kompaktheit, Konzepte, die vor allem in der Theorie nichtlinearer Differentialgleichungen verwendet werden. Im Vergleich zu Kapitel 3 sind die Methoden relativ abstrakt, es handelt sich um Konzepte aus der Funktionalanalysis und der Topologie. In Abschnitt 4.1 erinnern wir an Dualräume und führen die schwache und die schwach-* Konvergenz ein. Abschnitt 4.2 widmet sich Kompaktheitsbegriffen; unser wichtigstes Ziel ist die Kompaktheit der Einheitskugel bezüglich der schwachen Konvergenz. Erste Anwendungen der abstrakten Aussagen auf Partielle Differentialgleichungen werden in Abschnitt 4.3 gezeigt.
Ben Schweizer

Lineare Elliptische Differentialgleichungen

Frontmatter

5. Darstellungsformeln

Zusammenfassung
Als Fundamentallösung der Poisson-Gleichung bezeichnet man eine Lösung Φ: \({{\mathbb{R}}^{n}}\to \mathbb{R}\) der Gleichung
$$-\Delta {\mathit{\Phi}} = {{\delta }_{0}},$$
(5.1)
auf der rechten Seite steht die Dirac-Distribution \({{\delta }_{0}}:\varphi \mapsto \varphi (0)\).
Ben Schweizer

6. Energiemethoden

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt werden wir mit Variationsmethoden die Lösbarkeit verschiedener elliptischer Randwertprobleme beweisen. Ein Ziel ist dabei ein Existenzbeweis für Lösungen u der Gleichung
$$\begin{aligned}-\Delta &u=f\quad {\text{in}}\ {\mathit{\Omega}}, \\ & u=g\quad {\text{auf}}\;\partial {\mathit{\Omega}}. \\ \end{aligned}$$
(6.1)
Ben Schweizer

7. Maximumprinzipien für elliptische Gleichungen

Zusammenfassung
Ein erstes Maximumprinzip haben wir in Satz 2.6 bereits kennen gelernt: Jede harmonische Funktion auf einem Gebiet Ω nimmt sein Maximum am Rand ∂Ω an. Bewiesen hatten wir diesen Satz mit der Mittelwertformel für harmonische Funktionen. Maximumprinzipien gelten allerdings auch für sehr allgemeine elliptische Differentialoperatoren L und Lösungen von Lu = 0.
Ben Schweizer

8. Harmonische Funktionen:Weitere Eigenschaften und Verfahren

Zusammenfassung
In diesem Kapitel untersuchen wir weitere Eigenschaften von harmonischen Funktionen. In Abschnitt 8.1 besprechen wir deren Glattheit, das Theorem von Liouville und die Harnack-Ungleichung. In Abschnitt 8.2 konstruieren wir harmonische Lösungen auf Gebieten im \({{\mathbb{R}}^{n}}\) mit dem Perron-Verfahren. Abschnitt 8.3 ist dem Spektralsatz und dem Laplace-Beltrami Operator gewidmet.
Ben Schweizer

Lineare zeitabhängige Differentialgleichungen

Frontmatter

9. Darstellungsformeln für Parabolische Gleichungen

Zusammenfassung
Die einfachste zeitabhängige Partielle Differentialgleichung ist die Wärmeleitungsgleichung
$${{\partial }_{t}}u-\Delta u=f \qquad \text{auf}\ \Omega \times (0,\infty )$$
(9.1)
für eine offene Menge \({\mathit{\Omega}} \subset {{\mathbb{R}}^{n}}\). Der physikalische Hintergrund, aber auch das Maximumprinzip aus Abschnitt 2.3 legen nahe, dass wir zu Problem (9.1) Anfangswerte und Randwerte vorschreiben können.
Ben Schweizer

10. Zeitabhängige Funktionenräume

Zusammenfassung
Wir wollen in den nachfolgenden Kapiteln Existenzresultate für instationäre Probleme beweisen. Dabei werden wir parabolische Probleme in Kapitel 11 und Wellengleichungen in Kapitel 12 mit ähnlichen Techniken behandeln. Wir verwenden die Energiemethode, wie sie bereits in Kapitel 6 zur Lösung des Poisson-Problems verwendet wurde.
Ben Schweizer

11. Energiemethoden für Parabolische Gleichungen

Zusammenfassung
Wir beschreiben zunächst ein allgemeines Schema für Existenzresultate. Das Schema ist unabhängig von der zu lösenden Gleichung und kann mit unterschiedlichen Approximationsmethoden in Schritt 1 ausgeführt werden. Bei einer Ortsdiskretisierung spricht man von einem Galerkin-Verfahren, bei einer Zeitdiskretisierung auch von einer Rothe-Methode.
Ben Schweizer

12. Wellengleichungen

Zusammenfassung
Wir analysieren die Wellengleichung
$$\partial _{t}^{2}u={{c}^{2}}\Delta u\quad \text{in}\ {\mathit{\Omega}} \times (0,T)$$
(12.1)
in beliebiger Raumdimension n > 1.
Ben Schweizer

Variationsrechnung

Frontmatter

13. Direkte Methode der Variationsrechnung

Zusammenfassung
Die Variationsrechnung liefert Verfahren, mit denen nichtlineare Partielle Differentialgleichungen gelöst werden können. Das einfachste Verfahren ist dabei die Direkte Methode, mit ihr kann die Existenz von Minimierern nachgewiesen werden. Sie basiert auf dem Studium von Minimalfolgen zum Variationsproblem und dem Nachweis, dass Teilfolgen schwach gegen einen Minimierer konvergieren. Interessant sind dabei die Beziehungen zwischen dieser Methode und Konvexitätsbegriffen.
Ben Schweizer

14. Nichtkonvexe Funktionale, Nebenbedingungen

Zusammenfassung
Bisher haben wir für Existenzbeweise Satz 13.8 verwendet, also die schwache Unterhalbstetigkeit konvexer Funktionen. Damit konnten wir Variationsprobleme lösen mit Integranden f = f (x; p) (unabhängig von z = u(x)), falls f konvex war in p. Um nun Probleme mit f = f (x; z; p) zu lösen, könnten wir die gemeinsame Konvexität in z und p fordern, doch diese Annahme ist in den seltensten Fällen erfüllt. Die Idee für den nachfolgenden Satz ist, dass mit der schwachen Konvergenz \(\nabla {{u}_{k}}\rightharpoonup \nabla u\) die Werte stark konvergieren, \( {{u}_{k}}\to u\). Dies sollte ausreichen, um im Argument z den Limes zu bilden. Dies ist tatsächlich der Fall und wir werden dieses Programm in diesem Abschnitt ausführen. Zentrales Hilfsmittel ist hierbei der Satz von Egoroff.
Ben Schweizer

15. Konvexe Analysis

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt wollen wir die wichtigsten Begriffe der konvexen Analysis erklären. Nach einführenden Bemerkungen zu konvexen Funktionen und mehrwertigen Abbildungen werden wir die grundlegenden Begriffe der Fenchel-konjugierten Abbildung und des Subdifferentials einführen und die wichtigsten Zusammenhänge ableiten, insbesondere die Fenchel-Relationen in Satz 15.5.
Ben Schweizer

Fixpunktsätze und Monotone Operatoren

Frontmatter

16. Lösung nichtlinearer Gleichungen mit Fixpunktsätzen

Zusammenfassung
Eine gegebene Differentialgleichung mit Variationsmethoden zu behandeln, hat den Vorteil, dass meist relativ starke Aussagen in Bezug auf Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen getroffen werden können. In vielen Anwendungen wird tatsächlich die Differentialgleichung aus einem Variationsprinzip abgeleitet — in einem solchen Fall kann die Ausnutzung der zusätzlichen Struktur zusätzliche Informationen liefern.
Ben Schweizer

17. Monotone Operatoren

Zusammenfassung
Unser Ziel ist wieder die Lösung einer nichtlinearen Gleichung. Für einen Operator \(F: {X}\to X'\) von einem Banachraum in seinen Dualraum und für \(b\in X'\) betrachten wir wie in Satz 16.4 die Gleichung
$$F ({u})= b $$
(17.1)
Ben Schweizer

18. Stationäre poröse Medien Gleichungen

Zusammenfassung
Ein wichtiges Anwendungsgebiet der bisher entwickelten Theorie ist die Beschreibung von Strömungsvorgängen in porösen Medien. In diesem Problem tauchen je nach konkreter Fragestellung verschiedene interessante Aspekte auf. Wir werden hier das stationäre Grundwasserproblem behandeln und in Kapitel 20 den zeitabhängigen degenerierten Fall.
Ben Schweizer

Nichtlineare Evolutionsgleichungen

Frontmatter

19. Quasilineare Gleichungen

Zusammenfassung
In den nachfolgenden Kapiteln 19–21 untersuchen wir nichtlineare zeitabhängige Gleichungen auf Existenz und Eindeutigkeit. Wir konzentrieren uns dabei auf die quasilineare Gleichung
$${{\partial }_{t}}u-\nabla \cdot (a(u)\nabla u)=f(u).$$
(19.1)
Ben Schweizer

20. Degenerierte Diffusion

Zusammenfassung
Wir setzen hier unsere Untersuchungen zur Evolutionsgleichung (19.1) fort. Im vorangegangenen Kapitel haben wir ausgenutzt, dass die Diffusion a = a(u) durch eine Zahl λ > 0 nach unten beschränkt war. Diese Voraussetzung liefert a priori Abschätzungen für (approximative) Lösungen und erleichtert den Beweis von Existenzsätzen. In vielen interessanten Anwendungen hat man jedoch keine positive untere Schranke für a, man spricht dann von einer degenerierten Diffusion. Eine andere interessante Degeneriertheit ist eine große Diffusion, bei der a beliebig groß werden kann. Beide Effekte tauchen bei der Poröse Medien Gleichung (18.4) aus Kapitel 18 auf.
Ben Schweizer

21. Eindeutigkeit und Stabilität

Zusammenfassung
Wir untersuchen in diesem Abschnitt die Poröse Medien Gleichung auf Eindeutigkeit. In Anlehnung an (20.2) betrachten wir
$${{\partial }_{t}}u=\Delta \nu +f,\quad \nu =\Phi \ (u)$$
(21.1)
auf einem Raum-Zeit Zylinder \({{\Omega }_{T}}=\Omega \times (0,T)\).
Ben Schweizer

Strömungsmechanik

Frontmatter

22. Modellierung von Fluiden

Zusammenfassung
Ziel dieses Kapitels ist die Herleitung verschiedener Gleichungen für Fluide und die Bereitstellung einiger mathematischer Werkzeuge.
Zur Motivation unserer Vorgehensweise stellen wir zunächst die Frage: Warum kann ein Flugzeug fliegen? Verschiedene Schlagworte werden in Antworten oft genannt.
Ben Schweizer

23. Die Stokes Gleichung

Zusammenfassung
Wir haben im letzten Kapitel die Navier–Stokes Gleichung hergeleitet. Durch Vernachlässigung des konvektiven Termes \((\nu \cdot \nabla )\nu \) erhalten wir daraus die Stokes Gleichung (22.2). Unsere Überlegungen zu Skalierungen und zur Reynoldszahl zeigen, dass die Stokes Gleichung ein gutes Modell für Strömungen ist, falls: a) das Fluid sehr viskos ist oder b) die Strömung langsam ist oder c) die räumlichen Dimensionen klein sind.
Ben Schweizer

24. Navier–Stokes und Euler Gleichungen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel analysieren wir die zentrale Gleichung der Strömungsmechanik, die instationäre inkompressible Navier–Stokes Gleichung aus (22.1),
$$\begin{aligned} & {{\partial }_{t}}\nu +(\nu \cdot \nabla )\nu +\nabla p=\Delta \nu , \\ & \ \ \ \ \ \ \ \nabla \cdot \nu =0.\end{aligned}$$
(24.1)
Ben Schweizer

Festkörpermechanik

Frontmatter

25. Modellierung und lineare Theorie

Zusammenfassung
Wir wollen im Folgenden Festkörper mathematisch beschreiben. Je nach persönlichem Geschmack denke man dabei an eine Stahlbrücke, an ein Auto oder an eine Kirchenkuppel. Diesen Objekten ist gemeinsam, dass sie räumlich ausgedehnt sind und eine gewisse Festigkeit haben (im Gegensatz zu Flüssigkeiten). An den Objekten wirken Kräfte, welche zu Verformungen führen, aber die Deformationen sind klein und die Körper behalten im Wesentlichen ihre Form (sie zerbrechen nicht).
Ben Schweizer

26. Nichtlineare Elastizität

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt stellen wir Modelle für elastische Objekte auf, die im Wesentlichen eindimensional sind. Wir klassifizieren diese hier in Saiten und Stäbe. Als Saite bezeichnen wir ein eindimensionales Objekt, das sich ohne Widerstand verbiegen läßt. Diese Modellierungsannahme ist gut erfüllt für Seile, Gummibänder oder Ketten. Als Kette bezeichnen wir eine Saite dann, wenn sie sich nicht dehnen lässt. Im Gegensatz zu Saiten bezeichnen wir als Stäbe solche Objekte, die sich zwar eindimensional beschreiben lassen, die sich aber einer Krümmung widersetzen. Beispiele sind Holzstäbe oder Metallträger.
Ben Schweizer

27. Plastizität

Zusammenfassung
Wenn wir mit bloßer Muskelkraft versuchen, eine Metallstange zu verbiegen, so können wir vielleicht eine sichtbare Deformation erreichen — allerdings wird die Stange, sobald wir die Kraft nicht mehr wirken lassen, wieder in ihre Ursprungsform zurückkehren. Das Metall hat elastisch reagiert.
Ben Schweizer

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