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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in die partiellen Differenzialgleichungen. Wir beginnen mit einigen ganz konkreten Beispielen aus den Natur-, Ingenieur und Wirtschaftswissenschaften. Danach werden elementare Lösungsmethoden dargestellt, z.B. für die Black-Scholes-Gleichung aus der Finanzmathematik. Schließlich wird die analytische Untersuchung großer Klassen von partiellen Differenzialgleichungen dargestellt, wobei Hilbert-Raum-Methoden im Mittelpunkt stehen.

Numerische Verfahren werden eingeführt und mit konkreten Beispielen behandelt.

Zu jedem Kapitel finden sich Übungsaufgaben, mit deren Hilfe der Stoff eingeübt und vertieft werden kann.

Dieses Buch richtet sich an Studierende im Bachelor oder im ersten Master-Jahr sowohl in der (Wirtschafts-)Mathematik als auch in den Studiengängen Informatik, Physik und Ingenieurwissenschaften.

Die 2. Auflage ist vollständig durchgesehen, an vielen Stellen didaktisch weiter optimiert und um die Beschreibung variationeller Methoden in Raum und Zeit für zeitabhängige Probleme ergänzt.

Stimme zur ersten Auflage

Auf dieses Lehrbuch haben wir gewartet.

Prof. Dr. Andreas Kleinert in zbMATH

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Modellierung oder wie man auf eine Differenzialgleichung kommt

Partielle Differenzialgleichungen beschreiben zahlreiche Vorgänge in der Natur, der Technik, der Medizin oder der Wirtschaft. In diesem ersten Kapitel wollen wir für einige prominente Beispiele die Herleitung von partiellen Differenzialgleichungen mit Hilfe von Naturgesetzen und mathematischen Tatsachen beschreiben. Eine solche Herleitung nennt man (mathematische) Modellierung.
Wolfgang Arendt, Karsten Urban

Kapitel 2. Kategorisierung und Charakteristiken

Wir haben die Herleitung einer ganzen Reihe von partiellen Differenzialgleichungen aus Naturvorgängen bzw. den Wirtschaftswissenschaften kennen gelernt. Aus der Vielfalt der Gleichungen kann man bereits vermuten, dass es keine einheitliche mathematische Theorie und keine einheitliche Lösungsstrategie für partielle Differenzialgleichungen gibt bzw. geben kann. Es stellt sich aber die Frage, ob man partielle Differenzialgleichungen in Kategorien einteilen kann, für die man jeweils eine geschlossene Theorie entwickeln kann.
Wolfgang Arendt, Karsten Urban

Kapitel 3. Elementare Lösungsmethoden

In diesem Kapitel leiten wir für eine ganze Reihe von partiellen Differenzialgleichungen explizite Lösungen her. Die hier betrachteten Gleichungen repräsentieren interessante Modelle wie die schwingende Saite, die Wärmeleitung oder die Bewertung von Optionen. Darüber hinaus sind es Prototypen von partiellen Differenzialgleichungen, die wir in Kapitel 1 kennen gelernt haben.
Wolfgang Arendt, Karsten Urban

Kapitel 4. Hilbert-Räume

In Hilbert-Räumen spielen geometrische und analytische Eigenschaften in vielfacher und wunderbarerWeise zusammen. Das zeigen wir in dieser elementaren und ausführlichen Einführung. Höhepunkt ist der Satz von Riesz-Fréchet, der die stetigen Linearformen auf einem Hilbert-Raum beschreibt. Wichtig für uns ist es, dass wir diesen Satz als einen Existenz- und Eindeutigkeitssatz interpretieren können.
Wolfgang Arendt, Karsten Urban

Kapitel 5. Sobolev-Räume und Randwertaufgaben in einer Dimension

Sobolev-Räume über einem Intervall haben einen besonderen Reiz: Sie bestehen aus Funktionen, die sich als unbestimmtes Integral von integrierbaren Funktionen schreiben lassen. Zahlreiche Eigenschaften und Rechenregeln, wie z.B. das partielle Integrieren, sind gültig und geben uns eine Differenzial- und Integralrechnung an die Hand, die fast genauso zu handhaben ist wie die aus den Grundvorlesungen. Was man aber gewinnt, indem man integrierbare statt stetiger Funktionen zu Grunde legt, ist die Struktur eines Hilbert-Raumes, nämlich einen Hilbert-Raum von (schwach) differenzierbaren Funktionen.
Wolfgang Arendt, Karsten Urban

Kapitel 6. Hilbert-Raum-Methoden für elliptische Gleichungen

Um die wesentlichen Punkte der mathematischen Theorie möglichst elementar darzustellen, hatten wir Sobolev-Räume zunächst nur im eindimensionalen Fall eingeführt; genauer gesagt für Funktionen, die auf einem offenen Intervall im R definiert sind. In einer Raumdimension sind H1-Funktionen automatisch stetig und man kann sie durch ein unbestimmtes Integral charakterisieren (Satz 5.9). Dies gilt nicht mehr in höherer Dimension und neue Argumente sind nötig, um Eigenschaften von schwach differenzierbaren Funktionen und Sobolev-Räumen herzuleiten.
Wolfgang Arendt, Karsten Urban

Kapitel 7. Neumann- und Robin-Randbedingungen

In diesem Kapitel untersuchen wir zunächst elliptische partielle Differenzialgleichungen mit Neumann-Randbedingungen.
Wolfgang Arendt, Karsten Urban

Kapitel 8. Spektralzerlegung und Evolutionsgleichungen

Die Spektralzerlegung des Laplace-Operators mit verschiedenen Randbedingungen gibt uns genaue Information über die Lösbarkeit der Gleichung.
Wolfgang Arendt, Karsten Urban

Kapitel 9. Numerische Verfahren

Wir haben die Modellierung, einfache Lösungsverfahren und die mathematische Theorie einer ganzen Reihe von partiellen Differenzialgleichungen kennen gelernt. All diese Untersuchungen sind „analytisch“, d.h., wir können sie auf dem Papier ausführen und die konstruierten Lösungen erfüllen die jeweiligen partiellen Differenzialgleichungen „exakt“. Zwar mussten wir jeweils geeignete Definitionen für einen Lösungsbegriff finden (klassische, starke bzw. schwache Lösungen); wenn wir dann aber eine Lösung gefunden hatten, haben die jeweiligen Funktionen die betreffende Differenzialgleichung in dem entsprechenden Sinne exakt erfüllt.
Wolfgang Arendt, Karsten Urban

Kapitel 10. Maple ® oder manchmal hilft der Computer

Maple ® ist ein von der Firma Maplesoft (auch in Kooperation mit Hochschulen und Forschungseinrichtungen) entwickeltes und vertriebenes Programm. Es handelt sich um ein Computeralgebra-System, also ein Programm, das mathematische Umformungen nach gegebenen Regeln exakt durchführt, d.h. keine Rundungsfehler begeht, wie etwa bei numerischen Approximationsmethoden.
Wolfgang Arendt, Karsten Urban

Backmatter

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