Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

»Philosophie der Mathematik« wird in diesem Buch verstanden als ein Bemühen um die Klärung solcher Fragen, die die Mathematik selber aufwirft, aber mit ihren eigenen Methoden nicht beantworten kann. Dazu gehören beispielsweise die Fragen nach dem ontologischen Status der mathematischen Objekte (z.B.: was ist die Natur der mathematischen Objekte?) und dem epistemologischen Status der mathematischen Theoreme (z.B.: aus welchen Quellen schöpfen wir, wenn wir mathematische Theoreme beweisen?). Die Antworten, die Platon, Aristoteles, Euklid, Descartes, Locke, Leibniz, Kant, Frege, Dedekind, Hilbert und andere gegeben haben, sollen im Detail studiert werden. Dies führt zu tiefen Einsichten, nicht nur in die Geschichte der Mathematik, sondern auch in die Konzeption der Mathematik, so wie sie in der Gegenwart allgemein vertreten wird.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Teil I

Frontmatter

1. Der Begriff der Mathematik

Zusammenfassung
Wir wollen in diesem einleitenden Kapitel eine der frühesten mathematischen Entdeckungen behandeln, nämlich die Entdeckung der Existenz inkommensurabler Größen durch die Pythagoräer vor etwa zweieinhalbtausend Jahren.
Ulrich Felgner

2. Platons Philosophie der Mathematik

Zusammenfassung
Platôn (Πλάτων) wurde um 428 v.u.Z. in Athen (oder Aigina?) geboren. Er stammte aus einer alten, hoch angesehenen Athener Familie ab. Im Alter von etwa 20 Jahren wurde er mit dem damals etwa zweiundsechzig-jährigen Sôkratês (Σωκράτης) bekannt. Den Prozeß gegen Sokrates (399 v.u.Z.) erlebte Platon mit. Er war über das Unrecht, das Sokrates widerfahren war, zutiefst empört und entrüstet. Er verließ Athen und ging nach Megara zu Eukleidês (Εὐκλείδης) und (der Überlieferung nach) einige Jahre später nach Kyrene, wo er sich von Theodôros (Θεόδωρος) in die Mathematik einführen ließ. In den Jahren 395 – 390 v.u.Z. war er vermutlich wieder in Athen, wo er die ‚Apologie‘ schrieb und seine ersten Dialoge verfaßte: ‚Euthyphron‘, ‚Gorgias‘, ‚Ion‘, ‚Kriton‘, ‚Protagoras und andere.
Ulrich Felgner

3. Die aristotelische Konzeption der Mathematik

Zusammenfassung
Aristotelês (Ἀριστοτέλης) wurde 384 v.u.Z. in Stageira (im Grenzgebiet zwischen Thrakien und Makedonien) geboren. Er trat 367 in Platons „Akademie“ ein und blieb ihr Mitglied bis zu Platons Tod im Jahre 348/347. Im Jahre 343 wurde er am makedonischen Königshof Lehrer des damals 13-jährigen Alexander (später ;der Große‘ genannt). 336 kehrte er nach Athen zurück und wurde schon bald darauf Leiter des Lykeions. Zum Gebäude gehörte eine Wandelhalle (Peripatos, περίπατος). Die Mitglieder dieser Schule wurden daher „Peripatetiker“ genannt (περιπατέω = herumgehen).
Ulrich Felgner

4. Die Euklid’sche Axiomatik

Zusammenfassung
Die geometrischen Gegenstände waren für die Ägypter, Babylonier und auch für die Griechen in vorpythagoräischer Zeit die gezeichneten geraden Linien und Kreise, ihre Schnittpunkte und die von den gezeichneten Linien einge-schlossenen Flächen. In der Astronomie betrachtete man auch Punkte, Linien und Flächen, die man sich in das Himmelsgewölbe eingezeichnet dachte. Von den gezeichneten und den gedachten Linien beachtete man nicht die Breite; man ging aber nicht soweit anzunehmen, daß sie überhaupt keine Breite hätten. Auch von den Punkten nahm man nicht an, daß sie ausdehnungslos wären – sie wären andernfalls auch gar nicht wahrnehmbar gewesen.
Ulrich Felgner

5. Der Finitismus in der griechischen Mathematik

Zusammenfassung
In der heutigen Mathematik ist das Unendliche fast überall gegenwärtig, und so, wie es Herrmann Weyl beschreibt, kann man es kaum besser sagen:
Ulrich Felgner

6. Die Paradoxien Zenons

Zusammenfassung
Der Begriff der Unendlichkeit hat von der Antike an bis in die Neuzeit als schwieriger und problematischer Begriff gegolten. Die Auffassung, die Descartes gelegentlich in seinen Briefen an Mersenne formuliert hatte:
Ulrich Felgner

Teil II

Frontmatter

7. Über die Gewißheit in der Mathematik

Zusammenfassung
Die Frage, welchen Status die euklidische Geometrie unter den Wissenschaften hat, wurde im 16. Jahrhundert, dem Zeitalter der Renaissance, sehr intensiv diskutiert. Man war sich weitgehend einig in der Einschätzung, daß sie die aristotelischen Anforderungen an eine Wissenschaft nicht erfüllt, aber dennoch unter allen Disziplinen den höchsten Grad an Klarheit und Gewißheit besitzt.
Ulrich Felgner

8. Der Descartes’sche Nativismus

Der Prometheus-Mythos, der augustinische Illuminismus und der cartesianische Rationalismus
Zusammenfassung
In der Antike haben die epischen Dichter immer wieder die Musen angerufen mit der Bitte, sie zu inspirieren und ihnen bei der Abfassung ihrer Gesänge die Feder zu führen. Die Musen sind die Töchter des Zeus und der Mnêmosynê; sie sind die Göttinnen des Gesanges, des Wissens und der Erinnerung. Der Anruf der Musen beruht auf der Überzeugung, daß die Musen als Göttinnen allem Geschehen beiwohnen und daher von Allem das richtige Wissen haben.
Ulrich Felgner

9. John Lockes Gedanken zur Mathematik

Zusammenfassung
John Locke wurde am 29. August 1632 in Wrington (Somerset/England) geboren. Er studierte von 1652 an in Oxford Medizin, Naturwissenschaften und Philosophie. 1658 wurde er magister artium und lehrte von da an als Tutor am Christchurch-College in Oxford. Von 1675 an lebte er in Frankreich, vorzugsweise in Montpellier und Paris, und ging erst 1679 zurück nach England. Bereits 1683 sah er sich gezwungen, (erneut?) zu emigrieren. Er ging nach Holland und konnte erst 1689 nach England zurückkehren. Er starb 72-jährig am 28. Oktober 1704 in Oates in der Grafschaft Essex.
Ulrich Felgner

10. Der Rationalismus

Zusammenfassung
Die Frage, ob uns die Sinne oder der Verstand zu wahrer Erkenntnis führen, ist sehr alt und ist im Laufe der Geschichte immer wieder gestellt und immer wieder auf sehr unterschiedliche Weise beantwortet worden. Im Empirismus wird der Vorrang der Sinneswahrnehmung vor dem Denken und im Rationalismus umgekehrt der Vorrang des Denkens vor der Sinneswahrnehmung behauptet. Das, was in der Arithmetik und in der Geometrie wahr ist, kann nach Ansicht der Empiristen durch sinnliche Wahrnehmung gefunden werden, und nach Ansicht der Rationalisten in der eigenen Ratio.
Ulrich Felgner

11. Der Empirismus in der Mathematik

Zusammenfassung
Empirismus ist die Position in der Philosophie, in der alle Erkenntnis letztlich aus der Sinneserfahrung (Empirie) abgeleitet wird. Das, was wir Menschen wissen können, beruht nach dieser Position letztlich auf sinnlicher Wahrnehmung. Alle Fragen, die sich auf den Ursprung und die Rechtfertigung unseres Wissens beziehen, können letztlich nur unter Berufung auf unsere Sinnesempfindungen entschieden werden.
Ulrich Felgner

12. Immanuel Kants Konzeption der Mathematik

Zusammenfassung
Das Zeitalter der Aufklärung hat zwei große philosophische Denkgebäude hervorgebracht, den Rationalismus (René Descartes, Gottfried Wilhelm Leibniz und andere) und den Empirismus (George Berkeley, David Hume und andere). Der fundamentale Unterschied zwischen diesen beiden Richtungen „betraf die Bemessung des Umfanges unserer Erkenntnis a priori, also derjenigen Erkenntnis, die wir unabhängig von unserer sinnlichen Erfahrung haben können. Die Rationalisten hatten die Tendenz, diesen Umfang als groß, die Empiristen hingegen als klein anzusetzen“ (zitiert nach E. Scheibe, op. cit., S. 355). Immanuel Kant setzte sich zum Ziel, diesen Umfang neu zu bestimmen.
Ulrich Felgner

Teil III

Frontmatter

13. Der Psychologismus in der Mathematik

Zusammenfassung
Vom frühen 18. Jahrhundert an wurde häufig die Ansicht vertreten, daß die Psychologie eine „allgemeine Wissenschaft des Geistes“ sei (W. Wundt, ‚Logik‘, I, S. 1) und daher auch die Grundlage aller Philosophie, Logik und Mathematik wäre. Im 19. Jahrhundert wurde diese Auffassung sogar von vielen Mathematikern übernommen. Es wurde üblich, in den einleitenden Kapiteln der Lehrbücher die mathematischen Grundbegriffe in der Terminologie der Psychologie einzuführen. Man schrieb der Seele, dem Geist und der Vor-stellungskraft die Fähigkeit der Erzeugung der mathematischen Gegenstände zu und glaubte, die Gesetzmäßigkeiten der Logik, der Arithmetik, der Geometrie etc. auf psychische Gesetzmäßigkeiten zurückführen zu können.
Ulrich Felgner

14. Der Logizismus

Zusammenfassung
Die Auffassung, daß die Mathematik ein Teil der Logik sei, wird „Logizismus“ genannt. Das bedeutet zweierlei:
Ulrich Felgner

15. Der Begriff der Menge

Zusammenfassung
Da sich die Mathematik in der Neuzeit stürmisch entwickelte, wurde eine Festigung ihrer Grundlagen notwendig. Insbesondere wurde es nötig, die Begriffe der natürlichen, der reellen und der komplexen Zahlen einwandfrei zu definieren und sich Gedanken über ihren ontologischen und epistemologischen Status zu machen. Die überlieferten Ansichten der Philosophen über die Grundlagen der Mathematik wurden eifrig studiert, fanden aber keinen Anklang.
Ulrich Felgner

16. Der gegenwärtige Platonismus

Zusammenfassung
Mit der Bezeichnung „Platonismus ist nicht die gesamte von Platon vertretene Philosophie gemeint, sondern nur die allgemeine Tendenz der platonischen Philosophie, die Gegenstände der Mathematik als extramentale Entitäten aufzufassen. Es war Paul Bernays (1888–1977), der 1935 (op. cit.) dieser allgemeinen Tendenz den Namen „Platonismus“ gab.
Ulrich Felgner

17. Das Problem der nichtkonstruktiven Existenzbeweise

Zusammenfassung
Wir wollen die Frage diskutieren, was von einem Existenzbeweis in der Mathematik erwartet werden darf. Darf man erwarten, daß ein Objekt, das die Existenzbehauptung erfüllt, explizit angegeben wird, oder muß man damit zufrieden sein, daß nur gezeigt wird, daß es ein erfüllendes Objekt „an sich“ geben muß? Es geht also um die Frage, welche Information der Existenz-Quantor ∃x (gelesen: es existiert ein x) liefern kann und soll.
Ulrich Felgner

18. Der formale und der inhaltliche Standpunkt

Zusammenfassung
Ein Formalist, im umgangssprachlichen Wortsinne, ist jemand, der sich genau an die vorgeschriebenen Formalitäten hält und sie auch nicht hinterfragt. Formalisten sind daher nicht in allen Bereichen des Lebens wohlgelitten. Man unterstellt ihnen, daß sie über den Formalitäten die Inhalte, um die es letztlich gehen sollte, vernachlässigen würden. Man unterstellt dabei offenbar auch, daß Form und Inhalt nicht immer übereinstimmen.
Ulrich Felgner

19. Der Dedekind’sche Strukturalismus

Zusammenfassung
Richard Dedekind (1831–1916) veröffentlichte 1888 ein schmales Buch mit dem Titel ‚Was sind und was sollen die Zahlen?‘. Der Titel ist ein wenig „keck“, weil die (natürlichen) Zahlen doch schon seit Urzeiten der Menschheit bekannt sind – oder doch bekannt zu sein scheinen – und im Titel suggeriert wird, daß die Frage, was denn die Zahlen wirklich „sind“, noch immer nicht überzeugend und endgültig beantwortet sei.
Ulrich Felgner

20. Der Hilbert’sche Kritizismus

Zusammenfassung
David Hilbert (1862–1943) war ein exzellenter Mathematiker, der auf vielen Gebieten der Mathematik und der Mathematischen Physik Hervorragendes geleistet hat. Er war auch einer der Wenigen, die über die Grundlagen ihres Faches intensiv nachgedacht haben. Dabei wurde er zum Wegbereiter mancher neuer Entwicklungen.
Ulrich Felgner

Backmatter

Weitere Informationen

Premium Partner

    Bildnachweise