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2018 | Buch

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Physik lernen mit Excel und Visual Basic

Anwendungen auf Teilchen, Wellen, Felder und Zufallsprozesse

verfasst von: Prof. Dr. Dieter Mergel

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

In diesem Buch werden mathematisch-physikalische Fragestellungen mit Formelwerken, gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen, Variationsrechnung und Monte-Carlo-Verfahren behandelt. Der Leser lernt, physikalische Konzepte übersichtlich in Tabellenstrukturen und Makros von Excel und Visual Basic zu übertragen. Der Autor knüpft damit methodisch an den ersten Band „Physik mit Excel und Visual Basic“ an. Eine Entwicklungsumgebung für Visual Basic ist in jeder Version von Excel integriert.

Pragmatisch werden in jedem Kapitel zuerst die physikalischen Grundlagen knapp zusammengefasst und nötiges Vorwissen wird klar gekennzeichnet. Anschließend werden konkrete Beispiele aus der entsprechenden Thematik herausgegriffen und die mit MS-Excel und Visual Basic erstellten Lösungen diskutiert. Dabei erklärt der Autor mathematische Kniffe und Besonderheiten und hilft dem Leser dabei, den physikalischen Hintergrund zu verstehen. Die einzelnen Schritte werden gut nachvollziehbar und klar besprochen. Die Rechnungen werden mit grafischer Darstellung veranschaulicht und das Gelernte wird in Dialogen zwischen drei fiktiven Personen, dem pragmatisch an die Lösung herangehenden Alac, dem vorsichtigen und theoretisch interessierten Tim und dem Tutor/der Tutorin noch einmal pointiert besprochen.

Dieses Buch eignet sich für Leser, die sich dafür interessieren, wie man physikalische Problemstellungen mit dem Computer löst und zusätzlich eine knappe Darstellung der physikalischen Hintergründe bekommen wollen.

Zielgruppen sind:

- Studierende mit Hauptfach Physik ab dem ersten Semester

- Studierende mit Nebenfach Physik mit Interesse an der Mathematik

- Lehramtsstudierende und ausgebildete Mathe-, Physik- und Informatiklehrer , die darin Anregungen für die Einbindung von Computerverfahren im Unterricht finden

und

- „Physiker im Beruf“, die systematisch Tabellenkalkulation erlernen wollen.

Der Erkenntnisgewinn ist für den Leser durch die geschickte Verknüpfung von Physik, Mathematik und Programmierung sehr hoch, gleichzeitig motiviert das Buch dazu, selbständig neue Problemstellungen zu lösen. Der Einstieg in weiterführende Verfahren der Computational Physics wird erleichtert.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung

Mag, Tim und Alac diskutieren ihre Erfahrungen mit Excel und Visual Basic bei Aufenthalten in der Schule und in einer Firma. Das didaktische Konzept des Buches und die im Text verwendete Nomenklatur werden erläutert. Die im Buch eingesetzten numerischen Techniken und behandelten physikalischen Themen werden besprochen. Programmierkonstrukte werden systematisch in einer Tabelle aufgelistet und mit Verweisen auf Übungen versehen, in denen sie eingesetzt werden.

Dieter Mergel

Kapitel 2. Eindimensionale Schwingungen

Zusammenfassung

Wir stellen die Newton’sche Bewegungsgleichung für eindimensionale Masse-Feder-Systeme auf und lösen sie numerisch, bevorzugt mit dem Verfahren „Fortschritt mit Vorausschau“. Die Zeit t wird dabei in einer Spalte vorgegeben und Ort x und Geschwindigkeit v werden in zwei parallel laufenden Spalten ermittelt. Der Fortschritt von t auf t +Δt, also von einer Reihe in der Tabelle zur nächsten wird mit den Newton’schen Gesetzen berechnet. Wir sehen, wie die Schwingungen bei verschiedenen Arten der Reibung abklingen und wie der scheinbar chaotische Einschwingvorgang von erzwungenen Schwingungen als lineare Überlagerung der stationären Schwingung mit einer gedämpften Eigenschwingung zustande kommt. Wir bestimmen die Schwingungsformen gekoppelter Pendel und betrachten die Schwingung eines zweiatomigen Moleküls in einem Morse-Potential mit seinem nichtlinearen, unsymmetrischen Kraftgesetz. Die Verteilung des Abstandes der beiden Atome soll in Kap. 4 mit der quantenmechanischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit verglichen werden. Die Orts-Zeit- Kurven sollen mit viel mehr Punkten berechnet als graphisch dargestellt werden, und zwar durch Verteilung der Aufgaben auf mehrere Tabellenblätter oder durch Einsatz von VBA-Routinen und benutzerdefinierten Funktionen.

Dieter Mergel

Kapitel 3. Bewegungen in einer Ebene

Zusammenfassung

Wir integrieren die Newton’schen Gleichungen für die Bewegung eines Körpers in einem Kraftfeld (mit zwei Koordinaten x und y) oder von zwei Körpern mit längs ihrer Verbindungslinie wirkender Kraft (mit vier Koordinaten x₁, y₁, x₂, y₂). In der Tabelle wird die Zeit t in einer Spalte vorgegeben und die jeweils zwei Koordinaten für Ort x und Geschwindigkeit v werden in vier parallelen Spalten berechnet. Der Fortschritt von t auf t +Δt, also von einer Reihe der Tabelle zur nächsten folgt den Newton’schen Gesetzen, bevorzugt berechnet mit unserem Verfahren „Fortschritt mit Vorausschau“. In den einzelnen Aufgaben treten Schwerkraft und andere Zentralkräfte auf, die proportional zu verschiedenen Potenzen des Abstandes sind sowie Lorentzkraft und Reibungskraft, die beide von der Geschwindigkeit abhängen. Die Beschleunigungen für die einzelnen Komponenten kommen durch eine Kraft zustande, die allgemein von allen Ortskoordinaten und den zugehörigen Geschwindigkeiten abhängen kann. Wir untersuchen insbesondere, unter welchen Voraussetzungen der Drehimpuls des Systems erhalten bleibt. Es werden Grundkenntnisse der Vektorrechnung benötigt. Wir behandeln (1) ballistische Kurven, (2) Oszillatoren mit winkelabhängiger Zentralkraft oder (3) in einem anisotropen Potential und integrieren (4) die Bewegungsgleichung von Planeten im 1/r-Kraftfeld in kartesischen und polaren Koordinaten. Wir untersuchen (5) die Bewegung von zwei Körpern mit zentraler Wechselwirkung, wobei die Kraft von verschiedenen Potenzen des Abstands abhängt, um herauszufinden, in welchen Fällen sich die Körper auf geschlossenen Bahnen bewegen.

Dieter Mergel

Kapitel 4. Schrödinger-Gleichung

Zusammenfassung

Die eindimensionale zeitunabhängige Schrödingergleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung. Sie entspricht der klassischen Wellengleichung und lässt sich als Anfangswertproblem mit unseren numerischen Verfahren lösen. Anfangswerte der Wellenfunktion lassen sich festlegen, wenn das Potential spiegelsymmetrisch ist (Potentialtopf, harmonischer Oszillator) oder an einer Stelle gegen Unendlich strebt (Radialteil der Wasserstoff-Funktionen, Morse-Potential für Molekülschwingungen). In der Tabellenrechnung wird der Ort x in einer Spalte vorgegeben und parallel dazu die Krümmung der Wellenfunktion unabhängig von der numerischen Integration aus der kinetischen Energie (E-V(x)) des betrachteten Teilchens berechnet, wobei E eine vorgegebene Gesamtenergie ist. Aus den für verschiedene Gesamtenergien berechneten Wellenfunktionen werden diejenigen als Eigenfunktionen für gebundene Zustände ausgewählt, die sich normieren lassen. Dabei werden Protokollroutinen eingesetzt, die die Energie abscannen. Wir bestimmen die Energieeigenwerte in einem Potentialtopf und im Potential eines harmonischen Oszillators. Wir berechnen die Energieeigenwerte und Erwartungswerte des Ortes in einem Morse-Potential und vergleichen die quantenmechanische mit der klassischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit, die in Kap. 2 berechnet wird. Wir lösen die radiale Gleichung für das Wasserstoffatom und erhalten Energieeigenwerte, die innerhalb 1% mit den Literaturwerten übereinstimmen. Insbesondere zeigen wir, dass zu zwei verschiedenen Drehimpulspotentialen derselbe Energieeigenwert gehören kann, für Eigenfunktionen mit verschiedener Knotenzahl (Energieentartung).

Dieter Mergel

Kapitel 5. Partielle Differentialgleichungen

Zusammenfassung

In einer Tabellenkalkulation lassen sich sehr gut partielle Differentialgleichungen mit zwei Variablen lösen, die horizontal und vertikal an den Rändern einer Tabelle definiert werden. Diese beiden Variablen können zwei Raumdimensionen mit Lösungen U(x,y) sein wie bei der Laplace- und Poisson-Gleichung oder eine Raumdimension und die Zeit mit Lösungen x(t) wie bei der Wärmeleitungs- und der Wellengleichung. In der Tabelle stehen in jeder Zelle Formeln, die Informationen aus benachbarten Zellen verarbeiten, auf eine für die partielle Differentialgleichung typische Art. Die erste und zweite Ableitung werden in einer einfachen Form diskretisiert. Mit der Laplace-Gleichung bestimmen wir Potentiale zwischen Elektroden. Daraus berechnen wir mir VBA-Routinen Felder und vergleichen sie mit experimentellen Bildern mit Gipskristallen. Wir zeigen die Wirkung von Blitzableitern und Faraday-Käfigen. Mit der Poisson-Gleichung veranschaulichen wir den Gauß’schen Satz und lassen einen elektrischen Strom über Punktkontakte durch eine rechteckige Probe fließen, wobei der Strom die Probengrenzen außer an den Punktkontakten nicht überschreiten darf. Mit der Wärmeleitungsgleichung untersuchen wir u.a., wie Wärmewellen in den Boden eindringen. Mit der Wellengleichung demonstrieren wir die Superposition von laufenden Wellen auf einer einseitig oder beidseitig eingespannten Saite.

Dieter Mergel

Kapitel 6. Elektrische und magnetische Felder

Zusammenfassung

Wir berechnen elektrische und magnetische Felder mit den Vektoroperationen Addition, Kreuzprodukt und Skalarprodukt, basierend auf den Gesetzen von Coulomb und Biot-Savart, und stellen sie in Diagrammen durch Feldrichtungsvektoren und Feldlinien dar. Elektrische Felder von Verteilungen von Punkt- und Linienladungen werden mit Äquipotentiallinien, Feldlinien und Feldrichtungsvektoren veranschaulicht. Die Magnetfelder von Spulen werden verteilt auf mehreren gleich strukturierten Tabellenblättern berechnet und mit experimentellen Bildern aus Eisenfeilspänen verglichen. Feldlinien werden mit dem Verfahren „Fortschritt mit Vorausschau“ bestimmt, welches wir für die Lösung der Newton‘schen Bewegungsgleichung entwickelt haben. Äquipotentiallinien erhält man mit Einsatz der Solver-Funktion. Feldrichtungsvektoren werden mit einer Routine aus dem Potential berechnet. Sie haben alle dieselbe Länge und erhalten somit keinen Hinweis auf die Feldstärke. Wir lassen deshalb zusätzlich zu den berechneten Feldern ein zufälliges Störfeld wirken, welches die Feldrichtungsvektoren aus ihrer Richtung lenkt, umso stärker, je schwächer das Feld an der Stelle ist. Dadurch ähneln die Bilder mit den Feldrichtungsvektoren den experimentellen Verteilungen von dielektrischen Nadelkristallen und Eisenfeilspänen, die häufig in Vorlesungsexperimenten verwendet werden, um elektrische bzw. magnetische Felder sichtbar zu machen. Es werden Felder für einen Aufpunkt (x, y, z) mit Formeln in einer Tabelle berechnet, die auf Parameter wie Ort und Stärke von Ladungen und Stromfäden zugreifen, die in entfernten Zellen stehen, jedenfalls nicht notwendig in benachbarten Zellen, wie bei den Differentialgleichungen in Kap. 5. Der Aufpunkt wird in einer Protokollroutine variiert und die berechneten Felder werden in Diagrammen über Orten in einer Ebene dargestellt.

Dieter Mergel

Kapitel 7. Variationsrechnung

Zusammenfassung

Wir lösen klassische Aufgaben der Variationsrechnung mit der Solver-Funktion. Dabei wird in einer Spalte die unabhängige Variable, x oder t, aufgelistet und daneben eine abhängige Variable F(x) oder F(t). Die unabhängige Variable wird mit der Solver-Funktion variiert, so dass ein Funktional über F(x) oder F(t) einen optimalen Wert erreicht. So finden wir z. B. den am schnellsten durchfallenen Weg (Brachistochrone) zwischen zwei Punkten in einer senkrechten Ebene und lösen die Gleichungen für Bewegungen in der Ebene durch Optimierung der Lagrange-Funktion des Problems (Hamilton-Prinzip). An die so gewonnenen Bahnkurven des zweidimensionalen harmonischen Oszillators und an Planetenbahnen passen wir Ellipsen an, ebenfalls mit der Solver-Funktion, und ermitteln deren Charakteristika. Wir behandeln schließlich die Reflexion von Licht an einem Spiegel mit dem Fermat’schen Prinzip, als Vorbereitung auf Kap. 8.

Dieter Mergel

Kapitel 8. Geometrische Optik mit dem Fermat’schen Prinzip

Zusammenfassung

Die in Kap. 7 eingeführte Variationsrechnung wird auf Strahlenoptik angewandt. Mehrere Strahlen, meist divergierend von einem Punkt ausgehend, werden gleichzeitig gemäß dem Fermat’schen Prinzip des stationären Lichtweges optimiert. Wir lassen solch ein divergentes Lichtbüschel von einem Gegenstandspunkt aus verschiedene optische Medien durchlaufen und ermitteln die Schnittpunkte von in das Medium hinein verlängerten ein- und auslaufenden Strahlen und bestimmen so

die Positionen des Gegenstandspunktes, an denen sie dem Betrachter erscheinen oder
die Brennweiten von Hohlspiegeln und
die Hauptebenen von Linsen.

Für parabolische Spiegel ergeben sowohl Minimierung als auch Maximierung des Lichtweges denselben Fokus, wodurch gezeigt wird, dass das Fermat’schen Prinzips allgemein einen stationären und nicht speziell einen minimalen Lichtweg betrifft.

Dieter Mergel

Kapitel 9. Modellverteilungen durch Simulation physikalischer Prozesse

Zusammenfassung

In diesem Kapitel sollen physikalische Experimente simuliert werden, bei denen als Ergebnis die Verteilung einer Messgröße herauskommt, z. B.

eine Normalverteilung bei Addition vieler Messgrößen,
die Boltzmann-Verteilung durch Energieaustausch bei Atomstößen,
Zerfallsraten beim radioaktiven Zerfall,
Stoßzeiten von Molekülen in Gasen oder
Lorentzlinien (L) bei der Emission von Licht durch sich stoßende Atome in Gasen.

In der Tabellenkalkulation oder in den Visual-Basic-Routinen soll dabei das physikalische Experiment möglichst prinzipientreu ohne expliziten Einsatz von speziellen Funktionen nachgebildet werden. Wir setzen nur die Tabellenfunktion ZUFALLSZAHL() und die VBA-Funktion RAND() ein. Zum Schluss wird noch die Verteilung der ersten Ziffern in großen Zahlenwerken (Benford-Verteilung) nachgebildet.

Dieter Mergel

Kapitel 10. Stochastische Bewegung

Zusammenfassung

Wir lassen in einer VBA-Routine Individuen zufällig in ein- oder zweidimensionalen Gittern springen. Das wichtigste Programmierkonstrukt sind dabei IF-Abfragen in VBA-Routinen, die durch den Zufall gesteuert werden. Wir behandeln so die Diffusion von Spezies auf einer Geraden für die Anfangsbedingungen Deltafunktion, Kastenfunktion und Sinusfunktion sowie Diffusion durch eine halbdurchlässige Membran. Wir untersuchen Ferromagnetismus in einem zweidimensionalen Spin-Gitter mit dem Ising-Modell, indem wir Spins umklappen lassen, wenn die thermische Energie ausreicht, das Feld seiner Nachbarn zu überwinden. In einer zweidimensionalen binären Lösung mit zwei Atomsorten, die einander anziehen oder abstoßen können, tauschen zwei benachbarte Atome die Plätze, wenn es energetisch günstig ist. Dabei entsteht eine regelmäßige Fernordnung, wenn die beiden Atomsorten einander anziehen und Entmischung in große Domänen, wenn sie sich abstoßen.

Dieter Mergel

Kapitel 11. Monte-Carlo-Verfahren

Zusammenfassung

Wir erzeugen Zufallszahlengeneratoren in Tabellenblättern für gleichverteilte Punkte innerhalb eines Quadrats oder eines Kreises, auf einer Kugeloberfläche und in einer Kugel. Die Tabellenfunktion ZUFALLSZAHL() wird dabei in Umkehrfunktionen von integralen Verteilungsfunktionen eingesetzt. Für punktsymmetrische Verteilungen setzen wir Zufallsgeneratoren für Polarkoordinaten ein. Wir untersuchen die Verteilung der Mittelwerte von Punkten in der Ebene, deren Abstände zum Nullpunkt Gauß-verteilt und Cauchy-Lorentz-verteilt sind. Als Anwendungen bestimmen wir

die Trägheitsmomente einer Kugel,
die Hauptträgheitsmomente eines Quaders und
die Trägheitsmomente bei Drehung um eine beliebige Achse sowie das elektrische Feld einer geladenen Kugel.

Für die Elektronenverteilung in einem 1s-Orbital wird ein Polygonzug in einer benutzerdefinierten Tabellenfunktion entwickelt und damit die Coulomb-Energie des 1s-Orbitals im Wasserstoff- und Helium-Atom berechnet.

Dieter Mergel

Kapitel 12. Wellenoptik

Zusammenfassung

Wir berechnen Nullphase und Amplitude der Summe von Wellen, die an einem Referenzpunkt ankommen, mit Hilfe von Zeigerdiagrammen in der komplexen Ebene. Dabei werden komplexe Amplituden addiert. Die Wellen gehen von Punktstrahlern in einem örtlich begrenzten Bereich aus, die wahlweise geometrisch regelmäßig angeordnet oder zufällig mit Monte-Carlo Methoden innerhalb des Bereiches verteilt werden. Die Koordinaten der Punktstrahler werden in Spalten aufgelistet und daraus in parallelen Spalten optische Weglängen und Phasendifferenzen für vorgewählte Aufpunkte berechnet, die durch Protokollroutinen systematisch verändert werden. Die entstandenen Beugungsbilder werden ein- oder zweidimensional graphisch dargestellt. Als Beispiele behandeln wir

die Beugung am Doppelspalt (Strahler auf einer Linie, Nahfeld und Fernfeld),
die Intensitätsverteilung eines strahlenden Vollkreises (nach Airy, Strahler in einer Kreisscheibe) und
den Brennpunkt einer idealen Sammellinse (Strahler auf einer Kalotte).

Der Atomformfaktor bei der Röntgenbeugung wird bestimmt, indem ein paralleles Strahlenbündel an in kugelsymmetrischen Schalen verteilten Punkten gebeugt wird, beispielhaft für ein Na-Atom.

Dieter Mergel

Kapitel 13. Statistische Mechanik

Zusammenfassung

In der statistischen Mechanik werden alle Zustände des betrachteten Systems durch ihre Energie gekennzeichnet und thermodynamischen Größen als mit der energieabhängigen Wahrscheinlichkeit gewichtete Summen berechnet. Ein Tabellenaufbau ist dafür gut geeignet. In einer zentralen Spalte wird dabei zunächst die Energie aufgelistet oder aus Zuständen ermitteln, parallel dazu die Wahrscheinlichkeit, dass das System den zugehörigen Zustand annimmt. Der Zustandsraum wird durch eine repräsentative Auswahl von Zuständen (Monte-Carlo-Verfahren) oder durch eine Zustandsdichte modelliert. Wir behandeln die Quantenstatistik des harmonischen Oszillators und vergleichen seine thermodynamische Entropie, die als Integral der reduzierten Wärmemenge über die Temperatur berechnet wird mit derjenigen, die statistisch aus der Verteilung bei einer Temperatur erhalten wird. Wir untersuchen ferner

das Debye-Modell für die Wärmekapazität eines Festkörpers,
die Wärmekapazität von Elektronen in Metallen sowie
die Temperaturabhängigkeit der Elektronen- und Löcherdichte in Halbleitern.

Dieter Mergel

Kapitel 14. Mathematische Ergänzungen

Zusammenfassung

Wir erläutern mathematische Techniken, die in anderen Kapiteln eingesetzt werden:

Vektorrechnung,
Integration längs Kurven und
statistische Verfahren, insbesondere Kontingenztafeln und den Chi²-Test.

In zwei Übungen wird gezeigt, wie Dialogformulare erstellt werden, mit denen andere Nutzer durch unsere Tabellenrechnungen geführt werden können.

Dieter Mergel

Kapitel 15. Schlussbetrachtungen

Zusammenfassung

Alac, Tim und Mag besprechen noch einmal alle Bilder, die für den Schönheitswettbewerb ausgewählt wurden und in Prüfungen diskutiert werden sollen. In jeder der acht Kategorien (1) Teilchen, (2) Wellen, (3) Felder, (4) Statistische Verteilungen, (5) Tabellenstruktur, (6) VBA, (7) Solver und (8) Monte-Carlo wird nach Diskussion des physikalischen Inhalts und der Computer-Technik ein Sieger gekürt. Abschließend wird zusammengefasst, was wir gelernt haben und wie wir in unserem Studium weitermachen können.

Dieter Mergel

Backmatter

Titel: Physik lernen mit Excel und Visual Basic
verfasst von: Prof. Dr. Dieter Mergel
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-57513-0
Print ISBN: 978-3-662-57512-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-57513-0