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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch aus der Reihe „Grundlagen der Physikalischen und Mathematischen Geodäsie“ behandelt die für die Physikalische Geodäsie wichtigen Elemente der Potentialtheorie.

Es führt in die feldtheoretischen Aspekte des Gravitationsfeldes ein und erklärt die wichtigen Grundlagen für die Lösung der geodätischen Randwertaufgaben. Der Autor erläutert ausführlich die Darstellung der verschiedenen Gravitationsfeldfunktionale durch Kugelfunktionen sowie die Transformationseigenschaften bei Translation und Drehung des zugrundeliegenden Koordinatensystems.

Verschiedene Aspekte der Kugelfunktionen werden außerdem vertieft betrachtet, insbesondere die Darstellungen von Gravitationsfeldwechselwirkungen ausgedehnter Massenanordnungen, also Drehmomente, Gravitationstensor, Gezeitenpotential und vieles mehr.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Ausgewählte mathematische Elemente

Zusammenfassung
Es werden physikalische Felder als Teilgebiete des dreidimensionalen Raumes definiert. Jedem Punkt des Raumes wird dabei eindeutig ein Skalar oder ein Vektor (auch ein Tensor oder Spinor) zugeordnet. Je nach Art der Feldgröße spricht man von einem Skalarfeld oder einem Vektorfeld. Es werden die Felder mit den Mitteln der Analysis untersucht und die Operatoren Gradient, Divergenz und Rotation eingeführt. Dabei wird das Hilfsmittel des Nabla-Kalküls verwendet. Beispiele von Skalar- und Vektorfelder werden, basierend auf rechtwinklig-kartesischen und rechtwinklig-krummlinigen Koordinaten gegeben. In einem weiteren Kapitel werden Linien-, Flächen- und Volumenintegrale behandelt und die lokale und globale Struktur von Vektorfeldern, die als Gravitationsfelder insbesondere für die Physikalische Geodäsie von Bedeutung sind, untersucht. Schließlich werden die für die Physikalische Geodäsie wichtigen harmonischen Funktionen eingeführt.
Karl Heinz Ilk

2. Gravitationsfelder von Massenanordnungen

Zusammenfassung
Basierend auf dem Newtonschen Gravitationsgesetz werden Gravitationsfelder verschiedener Massenanordnungen innerhalb und außerhalb der Massenbelegungen diskutiert. Zur Veranschaulichung werden Flächen- und Volumenanziehung in Form der Gravitationsfeldstärken von homogenen Kreisschichten und homogen belegten Kugeloberflächen bzw. Kugelschalen behandelt.
Karl Heinz Ilk

3. Gravitationspotentiale von Massenanordnungen

Zusammenfassung
Ausgehend von der Formulierung von Gravitationsfeldern wird der Begriff des Gravitationspotentials eingeführt und anhand von Volumen- sowie von Einfachschicht- und Doppelschicht-Belegungen erläutert. Von Bedeutung sind in diesem Zusammenhang die verschiedenen Ableitungen des Gravitationspotentials bei Annäherung eines Dichtesprungs. Davon ausgehend werden Poisson- und Laplace-Gleichung diskutiert.
Karl Heinz Ilk

4. Integralsätze der Potentialtheorie

Zusammenfassung
Auf den Erkenntnissen der ersten drei Kapitel aufbauend, werden die Integralsätze der Potentialtheorie behandelt; dies sind insbesondere die Integralsätze von Gauß, Stokes und Green. Zur Veranschaulichung dieser Integralsätze werden einige Beispiele, die in der Physikalischen Geodäsie von Bedeutung sind, behandelt. Dies sind beispielsweise die Stokesschen Konstanten eines Massenkörpers oder die Massenbestimmung der Erde.
Karl Heinz Ilk

5. Kugelfunktionen und Anwendungen

Zusammenfassung
Ein umfangreiches Kapitel ist der Einführung von Kugelfunktionen gewidmet. Ausgehend von der Definition der Kugelfunktionen als Lösung der Laplace-Gleichung werden die Kugelflächenfunktionen, die Legendreschen Polynome und die zugeordneten Legendreschen Funktionen erläutert. Daran schließt sich die Quellendarstellung eines Gravitationspotentials an und die Entwicklung einer Funktion auf einer Kugeloberfläche nach Kugelflächenfunktionen und eine Darstellung der Zusammenhänge beider Darstellungen. Basierend auf diesen Grundlagen wird der Begriff der Randwertaufgaben der Potentialtheorie erläutert und eine physikalische Interpretation der Reihenkoeffizienten des Gravitationspotentials, der sog. Potentialkoeffizienten, gegeben.
Karl Heinz Ilk

Kapitel 6. Diskussion der Kugelfunktionen

Zusammenfassung
Für die geodätischen Anwendungen ist die Diskussion der Kugelfunktionen von besonderer Bedeutung sowie die verschiedenen Berechnungsverfahren der Legendreschen Polynome und der zugeordneten Legendreschen Funktionen. Hierzu sind nützliche Rekursionsformeln und eine Reihe von Formeln der zugeordneten Legendreschen Funktionen unterschiedlicher Grade und Ordnungen zusammengestellt. Es werden die zonalen, sektoriellen und tesseralen Kugelflächenfunktionen diskutiert und unterschiedliche Laplacesche Kugelflächenfunktionen graphisch dargestellt. Anhand einiger Beispiele wird die zunehmende Darstellungsgenauigkeit des Gravitationsfeldes der Erde mit Hilfe von Reihen Laplacescher Kugelflächenfunktionen veranschaulicht wie auch das Dämpfungsverhalten mit zunehmender Entfernung des Aufpunktes vom gravitierenden Massenkörper.
Karl Heinz Ilk

7. Randwertaufgaben der Potentialtheorie

Zusammenfassung
Ein weiteres Kapitel ist den Randwertaufgaben der Potentialtheorie gewidmet. Neben den Eigenschaften einer harmonischen Potentialfunktion im Außenraum werden die verschiedenen Typen von Randwertaufgaben, abhängig vom Randwerttyp zusammengestellt. Dabei unterscheidet man vier verschiedene Randwertaufgaben, eine 1., eine 2. und eine 3. Randwertaufgabe sowie eine schiefachsige Randwertaufgabe. Die 1. Randwertaufgabe wird mit Hilfe des sog. Poissonschen Integrals gelöst oder mit Hilfe von Kugelfunktionen. Entsprechende Lösungen werden für die 2. Randwertaufgabe gegeben. Neben der Lösung mit Hilfe von Kugelfunktionen kann eine Integralformel angegeben werden, die sog. Neumann-Funktion. Die Lösung der 3. Randwertaufgabe gelingt wiederum mit Hilfe von Kugelfunktionen und insbesondere mit der in der Physikalischen Geodäsie bedeutsamen Stokesschen Funktion. Dieser Abschnitt wird mit einigen Bemerkungen zur Lösung der Randwertaufgaben bei allgemeinen Randflächen abgeschlossen.
Karl Heinz Ilk

8. Alternative Kugelfunktionsdarstellungen

Zusammenfassung
Die drei letzten Abschnitte dieser Einführung in die Potentialtheorie sind einer vertieften Behandlung verschiedener Aspekte der Kugelfunktionen gewidmet. Im achten Kapitel werden alternative Darstellungen der Kugelflächenfunktionen angegeben. Dies sind insbesondere die sog. nicht normierten reellen Kugelflächenfunktionen, die vollständig normierten reellen Kugelflächenfunktionen und insbesondere die für viele Berechnungen elegant zu handhabenden komplexen Kugelflächenfunktionen. Von Bedeutung sind in diesem Zusammenhang auch die Transformationen zwischen den verschiedenen Formen der Legendreschen Funktionen sowie zwischen den verschiedenen Kugelflächenfunktionen wie auch zwischen den Entwicklungskoeffizienten der Reihenentwicklungen nach Kugelflächenfunktionen.
Karl Heinz Ilk

9. Koordinatenverschiebungen

Zusammenfassung
Im neunten Kapitel werden die Veränderungen der Kugelfunktionsentwicklungen bei endlichen Drehungen und Translationen des zugrunde liegenden Koordinatensystems behandelt. Für viele Zwecke sind aber nicht endliche Verschiebungen des Koordinatensystems von Bedeutung, sondern insbesondere infinitesimale Translationen und Rotationen. Hierfür werden Operatoren für die Translation und Rotation angegeben und auf Kugelflächenfunktionen und Reihenkoeffizienten von Kugelfunktionsreihen angewendet.
Karl Heinz Ilk

10. Gravitationsfeldfunktionale in Kugelfunktionen

Zusammenfassung
Im letzten Abschnitt werden verschiedene Funktionale des Gravitationsfeldes durch Kugelfunktionsentwicklungen formuliert, basierend insbesondere auf den reellen und den komplexen Kugelfunktionen. Von Bedeutung sind nicht nur Gravitationspotential und Gravitationsvektor, sondern auch die zweiten Ableitungen des Gravitationspotentials, des Gravitationsgradienten. Abschließend werden Funktionale der Gravitationswechselwirkung mehrerer ausgedehnter Körper behandelt, wobei aber insbesondere die Dreikörperwechselwirkungen von Bedeutung sind, also in erster Linie Gezeitenpotential und Gezeitenkraft.
Karl Heinz Ilk

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