Skip to main content
main-content

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Der Gauß-Algorithmus

Zusammenfassung
Beim Lösen linearer Gleichungssysteme wird häufig der Algorithmus von Gauß verwendet, den wir in diesem Kapitel mit Hilfe von Mathematica erarbeiten und anwenden wollen. Wir werden dabei so vorgehen, dass wir zunächst die Grundlagen des Algorithmus in seiner einfachsten Form mit Hilfe von Mathematica ganz genau erklären. Wer den Algorithmus bereits kennt und nur an einem fertig programmierten Verfahren interessiert ist, findet eine relativ komfortable Version im Abschnitt 1.2 dieses Buches. Anwendungsbeispiele finden Sie im dritten Abschnitt. Wir beginnen mit der Realisation von linearen Gleichungsystemen in Mathematica.
Werner Sanns, Marco Schuchmann

2. Iterationsverfahren

Zusammenfassung
Beim Lösen von Gleichungen werden oft Verfahren benutzt, die mehrfach durchlaufen werden, wobei die jeweils bei einem Durchlauf gefundene Näherung für die Lösung der Gleichung in den folgenden Durchlauf als Startwert für die weitere Berechnung übernommen wird. Das Verfahren bricht dann ab, wenn die zuletzt gefundene Lösung den Genauigkeitsanforderungen entspricht oder eine vorgegebene Anzahl von Rechenschritten überschritten wird. Wir sprechen von einem iterativen Verfahren. Diese Verfahren benötigen vor dem ersten Durchlauf einen Startwert, den der Benutzer vorgeben muß. Von einer günstigen Wahl des Startwerts kann das Verhalten des Verfahrens abhangen. Das heißt: ob und in welcher Zeit das Verfahren eine Lösung findet, kann vom gewählten Startwert und damit von der Routine des Benutzers abhängen. Zunächst beschäftigen wir uns mit einer einzelnen nichtlinearen Gleichung der Form f(x)=0 mit einer einzigen Unbekannten x. Wir suchen also die Lösung dieser Gleichung, das heißt die Nullstelle von f.
Werner Sanns, Marco Schuchmann

3. Interpolation und Extrapolation

Zusammenfassung
In vielen Bereichen der Wissenschaften findet man Wertetabellen. Ein Beispiel für eine solche Wertetabelle ist:
Werner Sanns, Marco Schuchmann

4. Approximation

Zusammenfassung
Im vorherigen Kapitel haben Sie die Interpolation kennen gelernt. Wir wollen uns nun mit einem ähnlichen Problem beschäftigen, nämlich der Approximation. Betrachten Sie dazu einmal folgendes Bild, in dem fünf Punkte und zwei Kurven dargestellt sind. Die geschwungene Kurve, die genau durch alle fünf Punkte verläuft, ist der Graph des Interpolationspolynoms vierten Grades, wahrend die Gerade nach der unten beschriebenen Approximationsmethode errechnet und gezeichnet wurde. Nimmt man an, dass die Punkte Messwerte repräsentieren, die mit Messfehlern behaftet sind, und dass die Daten durch einen linearen Zusammenhang beschrieben werden, so ist hier eine Approximation mit einer Geraden angebracht. Das Polynom hoheren Grades verläuft zwar durch alle Mess-punkte, ist aber z.B. zur Vorhersage von Werten in diesem Zusammenhang vollkommen ungeeignet. Eine Approximation kann auch mit anderen Funktionenstypen durchgeführt werden.
Werner Sanns, Marco Schuchmann

5. Fourier-Analyse

Zusammenfassung
Unter dem Begriff „Fourier-Analyse“wollen wir sowohl die „Harmonische Analyse“, als auch die sogenannte „Fourier-Transformation“zusammenfassen. Die Harmonische Analyse befasst sich mit der Darstellung periodischer Funktionen als Reihen, die aus Sinus- und Kosinustermen bestehen (Fourier-Reihen). Die Fourier-Transformation stellt eine Integraltransformation von Funktionen dar, die nicht periodisch sind, die aber so schnell gegen Null gehen, dass die Fläche zwischen ihrem Graph und der x-Achse endlich ist. Einer solchen Funktion f wird über diese Integraltransformation ihre Fourier-Transformierte f zugeordnet. Wenn f eine von der Zeit t abhängige Funktion ist, dann ist deren Fourier-Transformierte von der Frequenz ω abhängig; die Information über die Zeit ist bei der Fourier-Transformierten nur noch indirekt vorhanden. Die Fourier-Transformierte einer Funktion kann in vielen Fällen direkt interpretiert werden („Frequenzraum“). Oft werden damit Gleichungen transformiert, deren Lösung im Originalraum kompliziert sein kann, und anschließend nach ihrer Lösung im Bildraum rücktransformiert.
Werner Sanns, Marco Schuchmann

6. Wavelets

Zusammenfassung
Der Name „Wavelet“bedeutet „kleine Welle“oder „Wellenpaket“. Wavelets können zur Analyse von Zeitsignalen eingesetzt werden, das sind Funktionen f: ℝ→ ℂ bei denen die unabhängige Variable die Bedeutung der Zeit hat. Die Waveletanalyse stellt in gewissem Sinne eine Erweiterung der Fourier-Analyse dar.
Werner Sanns, Marco Schuchmann

7. Numerische Integration und Differentiation

Zusammenfassung
Bei der numerischen Integration geht es um die Berechnung einer Näherungslösung fur das Integral \( \int\limits_{\text{a}}^{\text{b}} {{\text{f(x)dx,}}} \) , denn es gibt Funktionen, bei denen es unmöglich ist, eine Stammfunktion analytisch zu bestimmen. Zum Beispiel ist die Funktion \(f(x) = {e^{ - {x^2}}}\) nicht analytisch integrierbar, deshalb ist man hier auf ein numerisches Verfahren angewiesen.
Werner Sanns, Marco Schuchmann

8. Eigenwertprobleme

Zusammenfassung
Bei Eigenwertproblemen geht es um die Suche nach Zahlenwerten λ∈ℝ, so dass die Matrix- Vektorgleichung Ax = λx eine nicht triviale Lösung besitzt (zu den Bezeichnungen siehe auch Kapitel 1). Dazu formt man zunächst die Gleichung äquivalent um zu (A-λE)x=0, wobei wir hier den Nullvektor zur Unterscheidung von der gewöhnlichen 0 mit Vektorpfeil geschrieben haben. Diese Gleichung hat nun genau dann nichttriviale Lösungen, falls Det(A-λE) = 0. Die Funktion ψ(λ) = det(A-λ·E) wird das charakteristische Polynom der Matrix A genannt. Dessen Nullstellen λ1, λ2,…, λn heißen Eigenwerte von A.
Werner Sanns, Marco Schuchmann

9. Differentialgleichungen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen (DGL), das heißt mit der rechnerischen Bestimmung von Näherungslösungen. Viele Differentialgleichungen können nicht analytisch (exakt) gelöst werden, und man ist oft auf numerische Lösungen angewiesen. Die wichtigsten Methoden zum Auffinden exakter Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Hilfe von Mathematica werden von uns ausführlich in unserem Buch,,Mathematik mit Mathematica“(siehe Literaturverzeichnis) beschrieben. Dort finden diejenigen Leserinnen und Leser, die die grundlegenden Begriffe aus der Theorie der Differentialgleichungen noch nicht kennen, eine elementare Einführung. Wir beginnen hier mit den numerischen Aspekten einer Lösungsfindung.
Werner Sanns, Marco Schuchmann

Backmatter

Weitere Informationen