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Über dieses Buch

Im Buch wird die Replikationsstrategie zur Bewertung zustandsabhängiger Zahlungsströme dargestellt, wobei der Schwerpunkt auf zeitdiskrete Modelle gelegt wird. Eine Besonderheit des Textes besteht darin, dass die Preisfindung im ersten Teil als verallgemeinerte Diskontierung algebraisch, ohne Verwendung von Wahrscheinlichkeitstheorie, formuliert wird. Im zweiten Teil wird das Bewertungsverfahren ein weiteres Mal, aber diesmal mit Methoden der diskreten stochastischen Analysis, hergeleitet. Schließlich wird gezeigt, dass sich die wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung der Replikationsstrategie in die stetige Finanzmathematik übertragen lässt und auch hier als verallgemeinerte Diskontierung interpretiert werden kann.
Dieses Lehrbuch basiert auf ausgewählten und überarbeiteten Kapiteln des Buchs Portfoliotheorie, Risikomanagement und die Bewertung von Derivaten des Autors.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Replikation und verallgemeinerte Diskontierung

Frontmatter

1. Ein-Perioden-Modelle

Die Bewertung deterministischer zukünftiger Auszahlungsbeträge erfolgt mithilfe der aus der elementaren Finanzmathematik vertrauten Diskontierung. Die zukünftigen Beträge werden mit einem Diskontfaktor auf den aktuellen Zeitpunkt abdiskontiert.Sind die zukünftigen Auszahlungen dagegen nicht deterministisch, sondern zustandsabhängig, dann erfolgt die Bewertung mithilfe einer Replikationsstrategie: Die Werte einer zustandsabhängigen Auszahlung werden mithilfe eines Portfolios repliziert und der aktuelle Preis dieses Replikationsportfolios wird als der Preis der Auszahlung definiert.Im vorliegenden Kapitel wird gezeigt, dass sich die Preise zukünftiger zustandsabhängiger Auszahlungen im Rahmen der für die Praxis wichtigen arbitragefreien Ein-Perioden- Modelle alternativ auch durch eine verallgemeinerte Diskontierung mithilfe eines Diskontvektors berechnen lassen.Eine Besonderheit des Textes besteht darin, dass die Preisfindung im ersten Teil des Buchs als verallgemeinerte Diskontierung ohne Verwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie formuliert wird.

Jürgen Kremer

2. Mehr-Perioden-Modelle

Mehr-Perioden-Modelle entstehen aus Verkettungen von Ein-Perioden-Modellen. Die Bewertung zukünftiger zustandsabhängiger Auszahlungen in arbitragefreien Mehr-Perioden- Modellen lässt sich daher auf die Bewertung zustandsabhängiger Auszahlungen in arbitragefreien Ein-Perioden-Modellen zurückführen. Auch in Mehr-Perioden-Modellen wird die Bewertung zukünftiger Auszahlungen mithilfe des Replikationsprinzips vorgenommen.Es zeigt sich, dass die Bewertung durch Replikation in Mehr-Perioden-Modellen so wie bei den Ein-Perioden-Modellen als verallgemeinerte Diskontierung formuliert werden kann, wobei die für die Diskontierung benötigten Diskontprozesse mit den Diskontvektoren der Ein-Perioden-Modelle gebildet werden.Mithilfe eines Diskontprozesses lässt sich ein Diskontierungsoperator definieren, mit dem zustandsabhängige Auszahlungen, die zu einem Zeitpunkt t im Baum stattfinden, auf einen Zeitpunkt 0 ≤ s < t in einem verallgemeinerten Sinne abdiskontiert werden.

Jürgen Kremer

3. Optionen, Futures und andere Derivate

In diesem Kapitel wird zunächst gezeigt, wie sich die Parameter eines Binomialbaums an reale Marktdaten anpassen lassen. Anschließend wird die Bewertung europäischer und amerikanischer Standard-Derivate mit und ohne Dividendenzahlungen der zugrundeliegenden Aktie dargestellt. In Abschn. 3.5 wird gezeigt, dass die Binomialbaumformeln für Call- und Put-Optionen gegen die Black-Scholes-Formeln konvergieren, wenn die Periodenlänge im Baum gegen null konvergiert. Für die Bewertung aller genannten Optionstypen werden in Abschn. 3.6 vollständige Scilab-Programme angegeben. Anschließend werden eine Reihe weiterer Optionen und Finanzinstrumente, wie Forward-Start-Optionen, Anleihen, Futures und Swaps besprochen.

Jürgen Kremer

Stochastische Analysis und verallgemeinerte Diskontierung

Frontmatter

4. Diskrete stochastische Analysis

In diesem Kapitel werden die Grundlagen der diskreten stochastischen Analysis dargestellt. Dies beinhaltet die Begriffsbildungen und Konzepte:Algebren, Filtrationen und adaptierte ProzesseDie bedingte ErwartungMartingaleDie Doob-ZerlegungKovariations-Prozesse und Orthogonale MartingaleDas diskrete stochastische IntegralStochastische Integrale und Kovariations-ProzesseDie Itô-FormelStochastische ExponentialeDer Martingal-DarstellungssatzDer Satz von GirsanovStoppzeiten

Jürgen Kremer

5. Diskrete stochastische Finanzmathematik

Werden die Kurse der Wertpapiere eines vollständigen und arbitragefreien Marktmodells $$\left(S,\mathcal{F}\right)$$S,F mithilfe eines der Finanzinstrumente des Modells, das dann Numéraire genannt wird, modifiziert, dann ist das entstehende Marktmodell $$\left(\tilde{S},\mathcal{F}\right)$$S̃,F ebenfalls arbitragefrei und vollständig. Der Diskontprozess $$\tilde{\phi}$$ϕ̃ von $$\left(\tilde{S},\mathcal{F}\right)$$S̃,F hat die Eigenschaft, dass $$Q=\tilde{\phi}_{n}$$Q=ϕ̃n als Wahrscheinlichkeitsmaß interpretiert werden kann. Darüber hinaus wird der Diskontierungsoperator zur bedingten Erwartung bezüglich Q und die modifizierten Kurse werden zu Martingalen. Dies wird in Abschn. 1 dargestellt.In den darauf folgenden Abschnitten des Kapitels wird gezeigt, wie umgekehrt in einem vollständigen und arbitragefreien Marktmodell $$\left(S,\mathcal{F}\right)$$S,F mithilfe der diskreten stochastischen Analysis ein Wahrscheinlichkeitsmaß konstruiert werden kann, bezüglich dessen die mit einem Numéraire modifizierten Kurse zu Martingalen bezüglich dieses Maßes werden. Dann wird gezeigt, wie mithilfe dieses Maßes der Diskontprozess des Mehr-Perioden-Modells definiert werden kann.Die stochastische Analysis bietet somit einen alternativen Zugang zur Konstruktion von Diskontprozessen. In Kap. 6 wird gezeigt, dass sich dieses Konstruktionsverfahren auch in der stetigen Finanzmathematik durchführen lässt.

Jürgen Kremer

6. Einführung in die stetige Finanzmathematik

In diesem Kapitel wird die Bewertung von Call- und Put-Optionen im Rahmen der stetigen Finanzmathematik dargestellt. Der für eine vollständige Behandlung der Thematik benötigte mathematische Hintergrund ist erheblich und umfasst neben den Grundlagen der Maßtheorie auch den Itô-Kalkül der stochastischen Analysis. Wir beschränken uns im Text darauf, das Prinzip darzustellen. Allerdings ist der Aufbau dieses Kapitels analog zum Aufbau des vorherigen Kap. 5. Alle Schritte, die im vorliegenden zeitstetigen Kontext nicht vollständig dargestellt werden, können im diskreten Rahmen mit vollständigen Beweisen nachgelesen werden.

Jürgen Kremer

7. Anhang: Bemerkungen zu den Aufgaben

In diesem letzten Kaptitel werden ausführliche Lösungsvorschläge zu allen Aufgaben angegeben.

Jürgen Kremer

Backmatter

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