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Über dieses Buch

Erinnern Sie sich an eine Alltagssituation, in der es Ihnen gelungen ist, aus einem Problem eine Aufgabe zu machen, die Sie erfolgreich bewältigen konnten? Und haben Sie dabei vom Einsatz geeigneter Werkzeuge profitiert?

Solche Szenarien prägen den beruflichen Alltag aller Studierenden mathematischer Fachrichtungen. Man sieht sich permanent mit mathematischen Problemen konfrontiert, zu deren Lösung es einer guten Idee bedarf; oft findet man diese aber nicht, weil man sich der Werkzeuge nicht bewusst ist, mit denen man die Lösungsidee freilegen kann.

Dieses Buch soll hier Abhilfe schaffen.

Anhand von ca. 70 Beispielen aus der Diskreten Mathematik, der Arithmetik, der Zahlentheorie, der Stochastik, der Geometrie, der Linearen Algebra, der reellen Analysis, der Funktionentheorie, der Kombinatorik und der Mathematikgeschichte wird eine umfangreiche Auswahl heuristischer Vorgehensweisen erläutert, denen die Rolle des Werkzeugs in Problemlöseprozessen zufällt.

Die heuristischen Strategien des Problemlösens werden strukturell systematisiert und nach Möglichkeit prozessual den verschiedenen Phasen des Problemlöseprozesses nach Pólya zugeordnet; dadurch entsteht nicht nur Ordnung im heuristischen Werkzeugkasten, sondern auch eine Verfeinerung des Pólya'schen Phasenmodells des Problemlösens.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Heurismen der Variation

Gegeben sei eine nicht-offene Problemstellung, d. h., es liegt eine Situation vor, in der ein Ausgangszustand und ein Zielzustand beschrieben sind. Eine Lösung des Problems besteht dann darin, ein Instrumentarium von Transformationen bereit zu stellen, mit deren Hilfe der Ausgangszustand in den Zielzustand überführt werden kann, und diese Wandlung damit durchzuführen.
Diese Sicht der Dinge ist einfach, aber für unsere Zwecke präzise genug. In der Literatur wird zur Abgrenzung von „Problemen“ gegen „Aufgaben“ oft noch hinterfragt, ob der Person des Problemlösers ein System von Transformationen, die den Ausgangszustand in den Zielzustand überführen, prinzipiell bekannt ist oder ob der Einsatz strategischen Wissens zur Lösung des Problems erforderlich ist: im ersten Fall ist die Rede von „Aufgaben“, im zweiten Fall spricht man von „Problemen“.
Wolfgang Schwarz

2. Heurismen der Induktion

Bei der in Kap. 1 vorgenommenen Behandlung von Heurismen des mathematischen Problemlösens stand das „Problemlösen im engeren Sinne“ im Vordergrund. Unter dem uniformisierenden Aspekt der Variation wurde eine Systematik von Problemlösestrategien vorgestellt, die im Einzelnen bei der Lösung konkret vorgegebener Probleme eingesetzt und erläutert wurden. In Kap. 2 geht es nun um Denkmuster und Strategien, die der induktiven Methode zuzurechnen sind.
Wolfgang Schwarz

3. Heurismen der Reduktion

Es wurde bereits angedeutet, dass man es bei den Heurismen der Reduktion mit Strategien zu tun hat, die überwiegend regressiv orientiert sind. Dies hat zur Folge, dass die betreffenden Strategien – im Gegensatz zu den Heurismen der Induktion – kaum bei der Problemfindung, sondern vorwiegend beim Problemlösen im engeren Sinne eingesetzt werden.
Nach Alfred Schreiber handelt es sich bei den Heurismen der Reduktion mehrheitlich um Verfahren mit logischem Charakter, mit denen man nach Voraussetzungen oder nach falschen Konsequenzen sucht; diese Charakterisierung rückt sofort die Argumentation durch Widerspruch ins Blickfeld reduktiver Strategien, zumal der namensgebende Begriff reductio (lat: Zurückführung) für die hier betrachtete Klasse von Heurismen ein Bestandteil der lateinischen Bezeichnung „reductio ad absurdum“ dieses logischen Instruments ist.
Die vielfältigen semantischen Bezüge von „Reduktion“ verlangen aber eine gewisse Vorsicht bei der Zuordnung.
Wolfgang Schwarz

Backmatter

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