Projektive Geometrie der Ebene

Ein klassischer Zugang mit interaktiver Visualisierung

verfasst von: Dr. Stefan Liebscher

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Springer-Lehrbuch Masterclass

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Buch bietet eine Einführung in die projektive Geometrie, wobei algebraische Details auf ein für die Beweise nötiges Minimum beschränkt werden. Um die Sachverhalte noch zeichnerisch darstellen zu können, konzentrieren wir uns auf die reelle projektive Ebene. Zentrales Thema sind Kegelschnitte und ihre Beziehungen – hier zeigt sich die durch den projektiven Zugang erreichbare Klarheit besonders deutlich. Wir werden Geometrie betreiben, ohne zu messen. Auch wollen wir verstehen, inwiefern die euklidische Ebene – also unsere übliche geometrische Vorstellungswelt - ein singulärer Grenzfall ist und wie uns das helfen kann, geometrische Sachverhalte zu verstehen.
Viele der besprochenen Sachverhalte können mit einer interaktiven Applikation auf der Webseite des Autors visualisiert und nachvollzogen werden.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Zusammenfassung

Im Mittelalter weitgehend vergessen, wurde die Perspektive zunächst durch die Künstler der Frührenaissance wiederentdeckt, um Tiefenwirkung zu erzielen. Vorreiter wie Giotto di Bondone bemühten sich noch mit wechselndem Erfolg. Die Filippo Brunelleschi zugeschriebenen konstruktiven Prinzipien der Perspektive lösten einen regelrechten „Hype“ in der Malerei aus.

Stefan Liebscher

2. Grundbegriffe

Zusammenfassung

Dieses Kapitel behandelt die grundlegenden Objekte der projektiven Geometrie: Punkte und Linien. Das schließt auch ihre algebraischen Darstellungen, ihre Dualität und die Doppelverhältnisse zwischen ihnen mit ein.

Stefan Liebscher

3. Vollständige Vierecke und harmonische Verhältnisse

Zusammenfassung

Harmonische Verhältnisse wurden in Definition 2.9 als ausgezeichnete Doppelverhältnisse eingeführt. In diesem Kapitel werden wir vollständige Vierecke und Vierseite studieren. Sie vermitteln harmonische Verhältnisse und bilden so einen fundamentalen Baustein für die Theorie der projektiven Geometrie und für alle geometrischen Konstruktionen.

Stefan Liebscher

4. Kegelschnitte

Zusammenfassung

In diesem Kapitel führen wir Kegelschnitte als Nullstellengebilde quadratischer Formen ein. Reguläre Kegelschnitte erweisen sich als projektive Bilder von Kreisen. Genauso können sie als ebene Schnitte von Kreiskegeln charakterisiert werden.

Stefan Liebscher

5. Die Cayley-Klein-Geometrien

Zusammenfassung

In diesem Kapitel widmen wir uns der Einbettung bestimmter metrischer Geometrien in die projektive. Dabei folgen wir dem Erlanger Programm von Felix Klein, als Nachdruck in Klein (1871). Die projektiv-metrischen Geometrien können anstatt durch ihre Metriken durch ihre Isometrien, also ihre Kongruenzabbildungen, charakterisiert werden. Die Kongruenzabbildungen wiederum sind bereits allein durch den Horizont, d. h. durch die unendlich fernen Punkte, bestimmt, sofern dieser Horizont als Kegelschnitt erkannt wird.

Stefan Liebscher

6. Kreise

Zusammenfassung

In der Perspektive wird ein Kreis zum Kegelschnitt. Aber kann man diesem Kegelschnitt noch ansehen, dass er eigentlich ein Kreis ist? Wir wollen in diesem Kapitel also Kreise in der durch einen gegebenen absoluten Kegelschnitt definierten Geometrie charakterisieren. Wie sich herausstellt, bleiben fast alle Eigenschaften erhalten, die wir von euklidischen Kreisen kennen, allen voran ihre Symmetrie in den Durchmessern und ihr konstanter Abstand vom Mittelpunkt.

Stefan Liebscher

7. Brennpunkte

Zusammenfassung

Brennpunkte kennen wir von Parabolspiegeln. Auch die Gärtnerkonstruktion der Ellipse mittels eines an zwei Pflöcken befestigten Seiles gehört zum Allgemeinwissen.

Stefan Liebscher

8. Geodäten und Parallelverschiebung

Zusammenfassung

Geodäten sind die „geraden“ Linien gekrümmter Räume. Der geodätische Fluss beschreibt, was es heißt, auf gekrümmten Flächen geradeaus zu laufen. Beides lässt sich für die in die projektive Ebene eingebetteten Geometrien besonders elegant beschreiben.

Stefan Liebscher

9. Die drei brennpunktteilenden Ellipsen

Zusammenfassung

Das Abschlusskapitel ist einem Problem gewidmet, das schnell gestellt ist, aber erstaunlich viele (auch zunächst versteckte) Strukturen bereithält. In seiner rein euklidischen Ausprägung könnte man versucht sein, es direkt analytisch zu lösen. Allerdings wird man dann um die Untersuchung der Nullstellen von Polynomen vierten Grades nicht herumkommen.

Stefan Liebscher

Backmatter

Titel: Projektive Geometrie der Ebene
verfasst von: Dr. Stefan Liebscher
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-54080-0
Print ISBN: 978-3-662-54079-4
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-54080-0