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2019 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Properties of Sobolev Spaces

verfasst von : Ulrich Wilbrandt

Erschienen in: Stokes–Darcy Equations

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

This chapter collects a number of important properties of Sobolev spaces. Almost every claim is provided together with a proof. The main result is the density of \(\mathcal D(\overline \varOmega )\) in W s, p(Ω) and proved in Theorem 3.4.5. The necessary tools to establish these proofs are introduced and intermediate results are presented in the following subsections. This entire chapter can be viewed as a preparation for subsequent ones on traces, Chap. 4, and to meaningfully define the weak forms of some partial differential equations in Chap. 5.

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Fußnoten
1
In this definition Ω may be \(\mathbb {R}^d\), then Ω ε = Ω for all ε.
 
2
For simplicity here the norm on \(\mathbb {R}^d\) is the 1-norm, i.e., https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-030-02904-3_3/470501_1_En_3_IEq116_HTML.gif .
 
3
In contrast to the definition of the weak derivative, the test function φ is not in \(\mathcal D(\mathbb {R}^d_{+})\) but in \(\mathcal D(\mathbb {R}^d)\).
 
4
It is shown in Theorem 3.4.1 and Remark 3.4.2 that such a sequence exists.
 
5
Of course this is only true for K ≥ 2, for K = 1 there is no integration over a second component y 2. Similarly in the following steps.
 
6
The set (0, ∞)K + {y} has to be understood element-wise, i.e., it is defined as https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-030-02904-3_3/470501_1_En_3_IEq293_HTML.gif , see also Footnote 3 on page 15.
 
Literatur
[AF03]
Robert A. Adams and John J. F. Fournier. Sobolev spaces, volume 140 of Pure and Applied Mathematics (Amsterdam). Elsevier/Academic Press, Amsterdam, second edition, 2003.
[KO88]
N. Kikuchi and J. T. Oden. Contact problems in elasticity: a study of variational inequalities and finite element methods, volume 8 of SIAM Studies in Applied Mathematics. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1988.
[MM07]
Irina Mitrea and Marius Mitrea. The Poisson problem with mixed boundary conditions in Sobolev and Besov spaces in non-smooth domains. Trans. Amer. Math. Soc., 359(9):4143–4182 (electronic), 2007.MathSciNetCrossRef
Metadaten
Titel
Properties of Sobolev Spaces
verfasst von
Ulrich Wilbrandt
Copyright-Jahr
2019
Buch
Stokes–Darcy Equations

Print ISBN: 978-3-030-02903-6

Electronic ISBN: 978-3-030-02904-3

Copyright-Jahr: 2019

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-030-02904-3_3