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Über dieses Buch

Dieses Buch wendet sich an Studierende mit Mathematik als Haupt- oder Nebenfach, die – insbesondere bei der Prüfungs- oder Klausurvorbereitung – den Wunsch verspüren, als Ergänzung zu den Lehrbüchern den umfangreichen Stoff des Analysisgrundstudiums noch einmal in pointierter Form vorliegen zu haben, zugespitzt auf dasjenige, was man wirklich wissen und beherrschen sollte, um eine Prüfung erfolgreich zu bestehen .

In einem konzisen Frage-Antworten-Stil werden die zentralen Begriffe und Beweise der Analysis wiederholt. Mehr noch als auf die Rechenfähigkeit wird dabei Wert auf das grundsätzliche Verständnis wichtiger Konzepte gelegt. Durch die Gliederung des Stoffes in einzelne Fragen eignet sich das Buch ausgezeichnet dazu, Wissen stichpunktartig zu trainieren und zu überprüfen; auch höhere Semester können davon profitieren, wenn sie schon einmal Gelerntes noch einmal gezielt nachschlagen wollen.

Die 3. Auflage wurde vollständig durchgesehen, didaktisch weiter verbessert und um neue Fragen ergänzt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen

Die zentralen Begriffe der Analysis wie Konvergenz, Stetigkeit, Integrierbarkeit, Differenzierbarkeit etc. basieren alle auf einem exakt definierten Zahlbegriff, dessen endgültige, befriedigende Präzisierung nach einer fast viertausendjährigen Entwicklung erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts gelang.

Rolf Busam, Thomas Epp

2. Folgen reeller und komplexer Zahlen

Mit Folgen und deren Konvergenz beginnt die eigentliche Welt der Analysis. Der Konvergenzbegriff hat jedoch viele Facetten. Der einfachste Konvergenzbegriff ist sicherlich der für Folgen von reellen und komplexen Zahlen. Wichtige Prinzipien für das tiefere Verständnis des Konvergenzbegriffs (z. B. bei Funktionen) lassen sich am Beispiel konvergenter Zahlenfolgen exemplarisch verdeutlichen und üben. Reihen (reeller oder komplexer Zahlen) sind Folgen spezieller Bauart, deshalb gelten die für Folgen gültigen Konvergenzkriterien auch für Reihen. Daneben gibt es wegen der speziellen Bauart von Reihen aber auch zahlreiche spezifische Kriterien für deren Konvergenz.

Rolf Busam, Thomas Epp

3. (Unendliche) Reihen

Die Fragen zu diesem Kapitel beschäftigen sich mit dem Reihenbegriff, speziell mit solchen Reihen, deren Summanden reelle oder komplexe Zahlen sind. Da Reihen nach Definition Folgen einer speziellen Bauart sind, gelten für sie dieselben Konvergenzkriterien wie für Folgen, darüber hinaus gibt es für Reihen aber noch eine Fülle spezifischer Konvergenzkriterien. Eine besonders wichtige Klasse von Reihen sind die absolut konvergenten Reihen, deren Summandenfolgen beliebig umgeordnet werden dürfen, ohne dass sich dadurch das Konvergenzverhalten der Reihe ändert. Diese Eigenschaft spielt eine große Rolle bei der Multiplikation konvergenter Reihen. Potenzreihen als spezielle Funktionenreihen werden in diesem Kapitel nur vorgestellt und erst in Kapitel 5 systematischer behandelt.

Rolf Busam, Thomas Epp

4. Stetigkeit, Grenzwerte von Funktionen

Der Funktions- bzw. Abbildungsbegriff ist für die Mathematik und ihre Anwendungen zentral. Wir beschäftigen uns daher zunächst etwas systematischer mit diesem Begriff, den wir an verschiedenen Stellen schon benutzt und dabei eine gewisse Vertrautheit mit ihm bereits vorausgesetzt haben.Nach Anfängen bei Fermat (1636) und Descartes (1637) und weiteren Präzisierungen des Begriffs Funktion (functio) durch Leibniz und Johann Bernoulli gegen Ende des 17. Jahrhunderts haben Euler (1748 bzw. 1755), Daniel Bernoulli (1755), Fourier (1822), Bolzano (1817) und Cauchy (1821) wichtige Beiträge zur Entwicklung dieses Begriffs geliefert. Der „moderne“ Funktionsbegriff wird häufig mit dem Namen Dirichlet belegt. Aus der Namensgebung lässt sich aber — wie so oft in der Mathematik — nicht ohne Weiteres auf die Urheberschaft schließen. Man vergleiche dazu den informativen Artikel von Youschkevitch [28].

Rolf Busam, Thomas Epp

5. Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Potenzreihen

Bei C. F. Gauß (Werke 3, S. 198) findet sich die folgende Bemerkung„Die transzendenten Funktionen haben ihre wahre Quelle allemal, offenliegend oder versteckt, im Unendlichen. Die Operationen des Integrierens, der Summation unendlicher Reihen … oder überhaupt die Annäherung an eine Grenze durch Operationen, die nach bestimmten Gesetzen ohne Ende festgesetzt werden – dies ist der eigentliche Boden, auf dem die transzendenten Funktionen erzeugt werden ….“

Rolf Busam, Thomas Epp

6. Elementare (transzendente) Funktionen

Wie schon in früheren Kapiteln angedeutet wurde, sind Potenzreihen ein äußerst wichtiges und leistungsfähiges Konstruktionsprinzip der Analysis.

Rolf Busam, Thomas Epp

7. Grundlagen der Integral- und Differenzialrechnung

Sowohl die Differenzial- als auch die Integralrechnung gehören zum Kernbestand der Analysis, sie bilden den Inhalt des sogenannten „Calculus“. Beide gehen ursprünglich von geometrischen Fragestellungen aus. Bei der Differenzialrechnung etwa das Tangentenproblem für Kurven oder die Bestimmung von Extremwerten. In physikalischer Hinsicht entspricht das etwa den Problemen der Bestimmung von Momentangeschwindigkeiten oder Momentanbeschleunigungen, allgemeiner ausgedrückt der Bestimmung der momentanen Änderungsrate einer Größe.Bei der Integralrechnung steht dagegen geometrisch die Ermittlung von Kurvenlängen, Flächeninhalten oder Rauminhalten am Ausgangspunkt. Damit verwandte Probleme sind etwa die Bestimmung von Dichten, Schwerpunkten und Mittelwerten oder in physikalischen Anwendungen die Berechnung der Arbeit in einem nichtkonstanten Kraftfeld. Ferner führt die Aufgabe, aus der Änderungsrate einer Größe die Größe selbst zu rekonstruieren, auf die Methoden der Integralrechnung.

Rolf Busam, Thomas Epp

8. Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung

Die folgenden Fragen befassen sich mit verschiedenen Anwendungen der Differenzial und Integralrechnung und ihrem weiteren Ausbau. Die einzelnen Teile hängen nicht systematisch voneinander ab. Wir haben uns für die folgenden Themen entschieden:(1) Taylor’sche Formel und Taylorreihen(2) Fixpunktiteration und Newton-Verfahren(3) Interpolation und Elemente der numerischen Integration(4) Uneigentliche Integrale, Γ-Funktion(5) Fourierreihen (Elemente der Theorie)(6) Bernoulli’sche Zahlen und Euler’sche Summenformel(7) Differenzierbare Kurven und ihre Geometrie

Rolf Busam, Thomas Epp

9. Metrische Räume und ihre Topologie

Ein allgemeines begriffliches Konzept für die Behandlung der in der Analysis und ihren Anwendungen auftretenden Funktionen und Abbildungen stellen die metrischen Räume und ihre Spezialfälle, die normierten Räume, dar. Allgemeiner ist der Begriff des topologischen Raumes, den wir in diesem Kapitel aber nur streifen werden. Wir nehmen hier einen schon früher gesponnenen Faden etwas systematischer wieder auf.

Rolf Busam, Thomas Epp

10. Differenzialrechnung in mehreren Variablen

Die folgenden Fragen beziehen sich auf Differenzierbarkeitsbegriffe und Differenziationsregeln im Mehrdimensionalen sowie deren Anwendungen (lokale Extrema, lokaler Umkehrsatz, implizite Funktionen u. a.).

Rolf Busam, Thomas Epp

11. Integralrechnung in mehreren Variablen

„Die mehrdimensionale Integration ist wahrscheinlich innerhalb der mathematischen Grundvorlesungen das unangenehmste Stoffgebiet“ (Otto Forster in [7]). Eine der Schwierigkeiten ist sicher die Tatsache, dass mehrdimensionale Integrationsbereiche im Allgemeinen eine viel komplexere Gestalt haben können als im Eindimensionalen, wo zunächst nur kompakte Intervalle als Integrationsbereiche auftreten und das Integral über nicht beschränkte Intervalle durch „Ausschöpfen“mit kompakten Intervallen auf die Integration über diese zurückgeführt wird.

Rolf Busam, Thomas Epp

12. Vektorfelder, Kurvenintegrale, Integralsätze

Die Fragen in diesem Kapitel betreffen Vektorfelder, Kurvenintegrale, Integration auf C1-Untermannigfaltigkeiten und schließlich Integralsätze, speziell den Gauß’schen Integralsatz in seiner klassischen Form. Um den allgemeinen Stokes’schen Integralsatz mithilfe des Differentialformenkalküls formulieren zu können, ist erheblich größerer Aufwand nötig, z.B.(i) die Graßmann-Algebra (alternierende Multilinearformen),(ii) Integration und Differenziation (Cartan-Ableitung) von Differenzialformen,(iii) der Begriff der berandeten Mannigfaltigkeit,(iv) der Begriff der Orientierung von Mannigfaltigkeiten.

Rolf Busam, Thomas Epp

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