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Über dieses Buch

Dieses Buch wendet sich an Studierende mit Mathematik als Haupt- oder Nebenfach, die sich gezielt auf Prüfungen in der Linearen Algebra vorbereiten wollen. Die mehr als 500 Aufgaben und Lösungen decken den Stoff der ersten Semester ab, den man wirklich beherrschen sollte, um eine Prüfung erfolgreich zu bestehen und exakte Antworten auf mögliche Fragen formulieren zu können.

In einem zielgerichteten Frage-Antwort-Stil werden die zentralen Begriffe und Beweise der Linearen Algebra wiederholt. Mehr noch als auf die Rechenfähigkeit (die sicherlich auch notwendig ist und nicht zu kurz kommt) wird dabei Wert auf das grundsätzliche Verständnis wichtiger Konzepte gelegt.

Diese zweite Auflage enthält ein Novum: Für ausgewählte Fragen gibt es die Möglichkeit, den Beweis interaktiv über die Online-Plattform MaMpf nachzuvollziehen und sich so intensiver mit den Lösungen zu beschäftigen. Hierbei wird der Leser schrittweise durch die Beweise geführt und erhält zu jedem Schritt und jeder Antwort hilfreiches Feedback.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Algebraische Grundlagen

Zusammenfassung
Wir setzen hier voraus, dass die Leser und Leserinnen mit den Sprech- und Bezeichnungsweisen der Mengenlehre und dem Abbildungsbegriff hinreichend vertraut sind. Wir sind nicht der Meinung, dass die Vorlesung ,,Lineare Algebra“ dazu benutzt werden sollte, Allgemeinheiten über algebraische Strukturen wie z.B. allgemeine Struktursätze in aller Ausführlichkeit von Grund auf zu behandeln. Allerdings ist der Gruppen- und Körperbegriff für den Aufbau der linearen Algebra fundamental, und deswegen beginnen wir das Buch mit einigen Fragen zu den grundlegenden Eigenschaften des Gruppen- und Körperbegriffs.
Rolf Busam, Denis Vogel, Thomas Epp

Kapitel 2. Vektorräume

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa „Unterraum“, „Linearkombination“, „lineare Unabhängigkeit“ und „Erzeugendensystem“. Für Vektoren eines allgemeinen Vektorraums benutzen wir stets lateinische Buchstaben u, v, w, wobei die Buchstaben x, y, z in der Regel Vektoren des Kn bezeichnen. Für Elemente des Grundkörpers K benutzen wir in den meisten Fällen griechische Buchstaben α, β, γ, . . ..
Rolf Busam, Denis Vogel, Thomas Epp

Kapitel 3. Lineare Abbildungen und Matrizen

Zusammenfassung
In der Linearen Algebra bewegt man sich immer innerhalb von Vektorräumen, also Mengen mit einer bestimmten algebraischen Struktur. Wie meistens in der Mathematik gehört zu einer bestimmten, durch strukturelle Eigenschaften ausgezeichneten Klasse von Mengen aber auch eine bestimmte Klasse von Abbildungen, die die Struktur ebendieser Mengen respektieren. Im Fall der Linearen Algebra sind das die linearen Abbildungen oder Vektorraumhomomorphismen.
Rolf Busam, Denis Vogel, Thomas Epp

Kapitel 4. Determinanten

Zusammenfassung
Die Determinante ordnet jeder linearen Abbildung zwischen endlich-dimensionalen K-Vektorräumen der gleichen Dimension einen Wert aus dem Grundkörper K zu. Sie ist eine wichtige Kenngröße linearer Abbildungen. So liefert die Determinante z.B. ein Invertierbarkeitskriterium für quadratische Matrizen und eine Lösungsformel für lineare Gleichungssysteme (Cramer’sche Regel).
Rolf Busam, Denis Vogel, Thomas Epp

Kapitel 5. Normalformentheorie

Zusammenfassung
Dieses Kapitel beschäftigt sich damit, die (geometrischen) Abbildungseigenschaften von Endomorphismen F : V → V genauer zu analysieren. Das Vorgehen besteht dabei darin, geeignete Unterräume von V aufzufinden, auf denen F eine besonders übersichtliche, einfache und klassifizierbare Struktur aufweist. Der Satz über die Jordan’sche Normalform, der am Ende dieses Kapitels behandelt wird, ist in dieser Hinsicht das allgemeinste Ergebnis.
Rolf Busam, Denis Vogel, Thomas Epp

Kapitel 6. Euklidische und unitäre Vektorräume

Zusammenfassung
Viele Vektorräume besitzen neben denjenigen Eigenschaften, die sich durch die Begriffe „Basis“, „Linearkombination“ etc. ausdrücken lassen, auch noch zusätzliche Strukturen. So hat etwa jeder Vektor im ℝn eine bestimmte „Länge“ und schließt mit einem anderen Vektor einen bestimmten Winkel ein.
Rolf Busam, Denis Vogel, Thomas Epp

Kapitel 7. Anwendungen in der Geometrie

Zusammenfassung
Es ist naheliegend, Sachverhalte der Linearen Algebra in geeigneten Fällen auch geometrisch zu interpretieren, zumal dann, wenn diese im ℝ2 oder ℝ3 stattfinden.
Rolf Busam, Denis Vogel, Thomas Epp

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