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Erschienen in:
2022 | OriginalPaper | Buchkapitel
41. Quadriken
verfasst von : Christian Karpfinger
Erschienen in: Höhere Mathematik in Rezepten
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Eine Quadrik ist die Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms in n Variablen. Für die praktischen Anwendungen sind vor allem die Fälle \(n = 2\) und \(n=3\) wesentlich. Im Fall \(n=2\) lautet eine allgemeine quadratische Gleichung und im Fall \(n= 3\)Die Menge aller Punkte \((x,y)^\top \) des \(\mathbb {R}^2\) bzw. \((x,y,z)^\top \) des \(\mathbb {R}^3\), welche diese Gleichung lösen, bilden die Quadrik, man spricht auch von Kurven bzw. Flächen zweiter Ordnung. Diese Kurven bzw. Flächen weisen Symmetrien auf, tatsächlich gibt es nur wenige wesentlich verschiedene Typen solcher Quadriken. Bei der Hauptachsentransformation geht es darum, ein Koordinatensystem zu bestimmen, sodass die Koordinatenachsen parallel zu den Hauptachsen der Quadrik sind. In einem zweiten Schritt verschiebt man das Koordinatensystem in einen eventuellen Mittelpunkt der Quadrik. Es ist dann leicht möglich, den Typ der Quadrik anzugeben.
$$\begin{aligned} a x^2 + b xy + c y^2 + dx + ey +f = 0 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} a x^2 + b xy + cxz + d y^2 + e yz + f z^2 + g x + h y + i z + j = 0 \, . \end{aligned}$$