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01.03.2015 | Ausgabe 3/2015

Quantum Information Processing 3/2015

Quantum knots and the number of knot mosaics

Zeitschrift:
Quantum Information Processing > Ausgabe 3/2015
Autoren:
Seungsang Oh, Kyungpyo Hong, Ho Lee, Hwa Jeong Lee
Wichtige Hinweise
This work was supported by the National Research Foundation of Korea(NRF) grant funded by the Korea government(MEST) (No. 2011-0027989).
The corresponding author(Seungsang Oh) was supported by Basic Science Research Program through the National Research Foundation of Korea(NRF) funded by the Ministry of Science, ICT & Future Planning(MSIP) (No. 2011-0021795).

Abstract

Lomonaco and Kauffman developed a knot mosaic system to introduce a precise and workable definition of a quantum knot system. This definition is intended to represent an actual physical quantum system. A knot \((m,n)\)-mosaic is an \(m \times n\) matrix of mosaic tiles (\(T_0\) through \(T_{10}\) depicted in the introduction) representing a knot or a link by adjoining properly that is called suitably connected. \(D^{(m,n)}\) is the total number of all knot \((m,n)\)-mosaics. This value indicates the dimension of the Hilbert space of these quantum knot system. \(D^{(m,n)}\) is already found for \(m,n \le 6\) by the authors. In this paper, we construct an algorithm producing the precise value of \(D^{(m,n)}\) for \(m,n \ge 2\) that uses recurrence relations of state matrices that turn out to be remarkably efficient to count knot mosaics.
$$\begin{aligned} D^{(m,n)} = 2 \, \Vert (X_{m-2}+O_{m-2})^{n-2} \Vert \end{aligned}$$
where \(2^{m-2} \times 2^{m-2}\) matrices \(X_{m-2}\) and \(O_{m-2}\) are defined by
$$\begin{aligned} X_{k+1} = \begin{bmatrix} X_k&O_k \\ O_k&X_k \end{bmatrix} \ \hbox {and } \ O_{k+1} = \begin{bmatrix} O_k&X_k \\ X_k&4 \, O_k \end{bmatrix} \end{aligned}$$
for \(k=0,1, \cdots , m-3\), with \(1 \times 1\) matrices \(X_0 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}\) and \(O_0 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}\). Here \(\Vert N\Vert \) denotes the sum of all entries of a matrix \(N\). For \(n=2\), \((X_{m-2}+O_{m-2})^0\) means the identity matrix of size \(2^{m-2} \times 2^{m-2}\).

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