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Über dieses Buch

Wie lassen sich Spiele und Puzzles mathematisch analysieren?
Wie kann man unendliche Strukturen zutreffend beschreiben?
Wie kann man Nachrichten gut verschlüsseln?

Achtzehn ausgewählte mathematische Themen mit Aufgaben und Lösungen laden zum Entdecken und Knobeln ein und bieten Einblicke in die faszinierende Welt der Mathematik – von A wie Aussagenlogik bis Z wie Zahlentheorie. Die Themen wecken so die Neugierde für Mathematik und fördern die Begeisterung von Schülerinnen und Schülern ab Klasse 7. Anleitungen zum mathematischen Problemlösen und Beweisen erleichtern dabei den Einstieg.

Das vorliegende Buch enthält das überarbeitete und ergänzte Material des Schülerzirkels Mathematik der Fakultät für Mathematik an der Universität Regensburg aus den Schuljahren 2012/13 bis 2014/15, das für die zweite Auflage um ausgewählte Themen der Schuljahre 2015/16 bis 2017/18 ergänzt wurde.

Stimme zur ersten Auflage

„Es ist erfreulich, dass die Aufgaben und Lösungen aus dem Schülerzirkel Mathematik der Universität Regensburg einem breiten Leserkreis zur Verfügung gestellt werden. Die Verbindung von pfiffigen Knobelaufgaben als Einstieg in ein Thema mit der Vermittlung des mathematischen Hintergrundwissens wird sicher vielen Schülerinnen und Schülern den Weg in die Welt der Mathematik ebnen."
Hanns-Heinrich Langmann, Projektleiter Bundesweite Mathematik-Wettbewerbe bei Bildung & Begabung

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Erste Schritte

Frontmatter

Kapitel 1. Musterthema

Schachbrettmuster und andere Färbungen

Ist es möglich, die rechten drei Bretter in Abbildung 1.1 mit Dominosteinen zu überdecken? Begründe deine Antwort!

Timo Keller, Alexander Voitovitch

Kapitel 2. Von der Idee zum Beweis

Eine kleine Anleitung

Das Lösen eines mathematischen Problems besteht aus zwei Teilen: 1. Der erste Teil besteht darin, Ideen zu sammeln und zu versuchen, eine Lösung zu finden. 2. Der zweite Teil besteht darin, diese Lösung im Detail sauber auszuarbeiten und schlüssig als Beweis aufzuschreiben.

Clara Löh, Theresa Stoiber, Jan-Hendrik Treude

Kapitel 3. Lösungsvorschläge zum Musterthema

Wir färben das Brett in schwarz-weiß-Spalten wie in Abbildung 3.1 und zählen die schwarzen Felder, die von den Formen abgedeckt werden.

Timo Keller, Alexander Voitovitch

Themenblätter

Frontmatter

Kapitel 4. Invarianten

Was ändert sich und was bleibt gleich?

Zum Einstieg wollen wir eine Knobelaufgabe betrachten und versuchen, sie ohne jegliche Vorbereitung zu lösen. Versuche dir dabei bewusst zu machen, welche Art von Argumenten du intuitiv einsetzt.

Theresa Stoiber, Jan-Hendrik Treude

Kapitel 5. Zahlentheorie

Wieviel Uhr ist es in hundert Stunden?

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Zahlentheorie (früher auch Arithmetik genannt). Das ist ein Teilgebiet der Mathematik, genauer gesagt der Algebra, das sich dem Studium der ganzen Zahlen widmet. Wir werden in diesem Thema zum Beispiel folgendes Problem lösen.

Timo Keller, Alexander Voitovitch

Kapitel 6. Graphentheorie

. . . oder das Haus vom Nikolaus

Graphentheorie – man könnte meinen, dass es hier um Funktionsgraphen geht, wie du sie aus der Schule kennst. In der wissenschaftlichen Mathematik ist damit aber etwas anderes gemeint. In diesem Kapitel wirst du sehen, dass es gar nicht so schwer ist, erste Schritte in diesem Teilgebiet der Mathematik zu machen und damit ganz unterschiedliche Probleme zu lösen.

Andreas Eberl, Theresa Stoiber

Kapitel 7. Induktion

0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + : : :

Wir beschäftigen uns im Folgenden mit einem wichtigen Aspekt der natürlichen Zahlen, dem sogenannten Prinzip der vollständigen Induktion.

Clara Löh

Kapitel 8. Spiele

Mit Strategie gewinnen

Spiele begleiten uns durch unser ganzes Leben. Bei vielen Gesellschaftsspielen, wie zum Beispiel den meisten Brett- und Kartenspielen, gibt es Gewinner und Verlierer. Häufig ist das ein essentieller Bestandteil des Spielens.

Christian Nerf, Niki Kilbertus

Kapitel 9. Die verflixte 7

Welche Zahlen sind durch 7 teilbar?

In der Natur ist die Zahl 7 nur selten zu finden, aber im Volkstum begegnet sie uns häufig: Die sieben Weisen, die sieben Weltwunder, die sieben Zwerge, die sieben Todsünden, die sieben Tage der Schöpfung und danach die sieben Wochentage.

Stefan Krauss

Kapitel 10. Zahlenschleifen

Das Slitherlink-Puzzle von nikoli

Slitherlink ist eines von vielen Puzzles, die von nikoli entwickelt wurden. Ein Slitherlink-Puzzle besteht aus einem rechteckigen Quadratgitter, bei dem in gewissen Feldern Zahlen eingetragen sind (s. Abbildung 7.1).

Clara Löh

Kapitel 11. Unendliche Mengen

. . . und unendlichere Mengen

Michi sagt zu Anna: ” Wenn ich pro Sekunde eine natürliche Zahl aufzählen kann, kann ich in 2000 Sekunden alle natürlichen Zahlen aufsagen.“ ” Das geht doch gar nicht,“ entgegnet Anna, ” wenn du bei 0 anfängst, bist du bei der 2000sten Sekunde genau bei der Zahl 1999, also lässt du alle Zahlen ab 2000 weg.“ ” Doch, es geht,“ gibt Michi an, ” du musst halt in einer anderen Reihenfolge zählen.“

Alexander Voitovitch, Clara Löh

Kapitel 12. Ist doch logisch!

Eine Einführung in die Aussagenlogik

Die Logik ist ein Grundpfeiler der modernen Mathematik. Sie bildet die Grundlage für alle Bereiche der Mathematik und der Digitalelektronik und damit auch der modernen Computertechnik.

Theresa Stoiber, Niki Kilbertus

Kapitel 13. Numerakles

. . . und seine sechs Aufgaben

Numerakles studiert an der renommierten Akademie der Helden den Studiengang ” klassicher Held“ und steht kurz vor dem Abschluss seines von Irrfahrten, Orakeln, eitlen Göttern und sonstigen Unannehmlichkeiten geprägten Studiums. Da es sich um einen wegen Sparmaßnahmen gekürzten Studiengang handelt, besteht die Abschlussprüfung aus nur sechs (statt der sonst für klassische Helden üblichen zwölf) praktischen Aufgaben.

Clara Löh, Niki Kilbertus

Kapitel 14. RSA-Verschlüsselung

Der Satz von Euler-Fermat und die RSA-Verschl¨usselung

Die Zahlentheorie, auch Arithmetik genannt, galt lange Zeit als das reinste Gebiet der Mathematik, eine Theorie ohne jegliche außermathematische Anwendungen. Dies änderte sich im Jahr 1977, als die drei Mathematiker Rivest, Shamir und Adleman das RSA-Kryptosystem (benannt nach ihren Anfangsbuchstaben) erfanden (oder entdeckten?). Das bahnbrechend Neue dieser Verschlüsselung war, dass es im Gegensatz zu allen bisherigen Verschlüsselungsverfahren nicht symmetrisch ist: Ein Verschlüsselungsverfahren heißt symmetrisch, wenn eine Nachricht mit demselben Schlüssel entschlüsselt werden muss, mit dem sie verschlüsselt wurde. Daher ist es notwendig, dass die Teilnehmer an einer Verschlüsselung im Voraus ihren Schlüssel austauschen.

Timo Keller

Kapitel 15. Der Eulersche Polyedersatz

Planare Graphen und platonische Körper

Leonhard Euler war ein Schweizer Mathematiker und Physiker und vielleicht hast du seinen Namen schon im Zusammenhang mit der Zahl e = 2,71828. . . gehört – diese Zahl ist nämlich nach ihm benannt: die Eulersche Zahl.

Alexander Engel

Kapitel 16. Folgen und Reihen

1, 3, 6, 10, 15, . . . und was kommt dann?

Wenn jemand die Frage stellt ” 1, 3, 6, 10, 15, . . . und was kommt dann?“, setzt er sich mit Zahlenfolgen auseinander. Auch in Intelligenz- oder Einstellungstests wird man oft aufgefordert, bestimmte Muster in solchen Folgen zu erkennen und diese fortzusetzen. Dies gilt offenbar als eine grundlegende mathematische Fähigkeit.

Theresa Stoiber, Stefan Krauss

Kapitel 17. Abrakadalgebra

Vom Hut zum Hasen und zurück

Der von Zauberern bewohnte Planet Pur-Peng! droht wegen immer waghalsigerer Zauberexperimente im Chaos zu versinken. Daher sind angehende Zauberer verpflichtet, sich ihre Trickkiste mit Zaubersprüchen genehmigen zu lassen. Wichtige Anforderungen an solche Trickkisten sind, dass es einen Zauberspruch gibt, der überhaupt nichts tut (ein wahrlich langweiliger Zauberspruch), und vor allem, dass es zu jedem Zauberspruch einen entsprechenden Anti-Zauberspruch gibt, der ihn wieder rückgängig macht.

Clara Löh

Kapitel 18. Mehr Folgen und Reihen

. . . oder Achilles und die Schildkröte

Knobelaufgabe (nach dem Paradoxon des Philosophen Zenon von Elea, ca. 450 v. Chr.). Vor langer Zeit machten Achilles, einer der schnellsten Läufer der Antike, und eine Schildkröte einen Wettlauf. Da Achilles 10-mal so schnell laufen konnte wie die Schildkröte, wollte die Schildkröte 100 Meter Vorsprung bekommen. Achilles war einverstanden.

Andreas Eberl

Kapitel 19. Ganz schön voll hier!

Das Schubfachprinzip

Wir sind auf einer Geburtstagsparty und es wird ” Reise nach Jerusalem“ gespielt. Die Gäste rennen um die Stühle, während die Musik tönt. Plötzlich wird es still, woraufhin alle auf einen Platz stürmen.

Gerrit Herrmann

Kapitel 20. Geheimnisvolle Zahlentafeln

Weihnachten und die Magie der magischen Quadrate

Der Weihnachtsmann möchte dich dieses Jahr mit etwas besonders Spannendem zum Knobeln überraschen. Dazu zeichnet er für dein Geburtsjahr, das er auf das Jahr 2004 schätzt, blitzschnell eine Zahlentafel zur Zahl 2004 (siehe Abbildung 17.1).

Karin Binder, Georg Bruckmaier

Kapitel 21. Roro-Robo

Von Turtle zu Turing

Roboter Roro lebt in einer Quadratgitterwelt und kann durch die Kommandos

Clara Löh

Lösungsvorschläge

Frontmatter

Kapitel 22. Lösungsvorschläge zu Thema 1

Die Antwort lautet Nein. Um das zu sehen, kann man sich beispielsweise die Anzahl der Buchstaben ansehen. MEU hat drei Buchstaben, also ist die Länge des Ausgangsworts ungerade. Bei jeder der erlaubten Umformungen (R 1), (R 2) und (R 3) ändert sich die Wortlänge entweder gar nicht oder um 2, also um eine gerade Zahl. Addiert oder subtrahiert man von einer ungeraden Zahl eine gerade Zahl, erhält man stets wieder eine ungerade Zahl. In diesem Beispiel ist also die Eigenschaft, ob die Wortlänge gerade oder ungerade ist, eine Invariante. Da die Länge des Zielwortes MU gleich 2 ist, also eine gerade Zahl, kann man MEU mit den gegebenen Regeln nicht in MU umformen.

Theresa Stoiber, Jan-Hendrik Treude

Kapitel 23. Lösungsvorschläge zu Thema 2

Bezeichne die Wochentage Sonntag, Montag, Dienstag, . . . , Samstag mit 0, 1, 2, . . . , 6. Wenn heute Samstag (6) ist, dann ist der Rest beim Teilen von 6 + 100 durch 7 unser gesuchter Wochentag.

Timo Keller, Alexander Voitovitch

Kapitel 24. Lösungsvorschläge zu Thema 3

1. Wir beschriften die Knoten im Haus vom Nikolaus wie links in Abbildung 3.1. (a) Beginnt man bei Knoten A oder B, so kann man eine Lösung in einem Zug finden. Startet man bei einem der Knoten C, D oder E, gelingt dies nicht.

Andreas Eberl, Theresa Stoiber

Kapitel 25. Lösungsvorschläge zu Thema 4

Induktionsanfang. Die Behauptung gilt für die natürliche Zahl 0, denn

Clara Löh

Kapitel 26. Lösungsvorschläge zu Thema 5

Lösung zu Aufgabe 5.1. Es ist eine gute Idee, sich die Strategie zuerst anhand eines Spielfelds zu überlegen, welches man sich auch vorstellen kann. Zum Beispiel kann man ein regelmäßiges 10-Eck wie in Abbildung 5.1 noch einfach zeichnen. Die Idee besteht nun darin, die Symmetrie des Spielfelds zu nutzen.

Christian Nerf, Niki Kilbertus

Kapitel 27. Lösungsvorschläge zu Thema 6

Die neue Zahl ist durch Multiplikation der zweiziffrigen Zahl mit 1001 entstanden. In unserem Beispiel gilt 23023 = 23 • 1001. Die Zahl 1001 ist aber durch 7 teilbar (1001 = 7 • 143), somit ist (nach B1) auch die neue Zahl durch 7 teilbar. Zusätzlich gilt wegen 1001 = 7 • 11 • 13, dass alle Zahlen dieser Form nicht nur durch 7, sondern auch durch 11 und durch 13 teilbar sind.

Stefan Krauss

Kapitel 28. Lösungsvorschläge zu Thema 7

Wir wenden zunächst die dritte und vierte lokale Lösungsstrategie an und analysieren dann die vier Ecken des Slitherlink-Puzzles. Dies liefert die Situation in Abbildung 7.1.(a).

Clara Löh

Kapitel 29. Lösungsvorschläge zu Thema 8

Michis Behauptung ist falsch. Wenn Michis Aufzählmethode stimmen würde, so könnte man die natürlichen Zahlen mit den Zahlen 1; 2; 3; : : : ; 2000 durchnumerieren.

Alexander Voitovitch, Clara Löh

Kapitel 30. Lösungsvorschläge zu Thema 9

a) Aussage b) keine Aussage c) Aussage d) Aussage e) Aussage f) Aussage

Theresa Stoiber, Niki Kilbertus

Kapitel 31. Lösungsvorschläge zu Thema 10

Numerakles sollte sich für die ReihenfolgeGrößter – Kleinster – Größterenscheiden, denn so hat er zwei Gelegenheiten, sein Glück gegen den größten Vogel zu versuchen.

Clara Löh, Niki Kilbertus

Kapitel 32. Lösungsvorschläge zu Thema 11

Die Primfaktorzerlegungen von a und b sind

Timo Keller

Kapitel 33. Lösungsvorschläge zu Thema 12

In Abbildung 12.1 siehst du zwei Beispiellösungen; es gibt auch noch viele weitere Lösungsvarianten. Beachte, dass manche Seiten-flächen des linken Polyeders nach innen geneigt sind.

Alexander Engel

Kapitel 34. Lösungsvorschläge zu Thema 13

Es wird die Formel zur Bestimmung von einzelnen Folgengliedern arithmetischer Folgen verwendet.

Theresa Stoiber, Stefan Krauss

Kapitel 35. Lösungsvorschläge zu Thema 14

In diesem Fall ist der langweilige Zauberspruch, denn: Laut Tabelle gilt

Clara Löh

Kapitel 36. Lösungsvorschläge zu Thema 15

Für die ersten zehn Glieder der Folge ergibt sich folgende Entwicklung

Andreas Eberl

Kapitel 37. Lösungsvorschläge zu Thema 16

Jede natürliche Zahl a lässt sich für gegebenes n ∈ N schreiben als

Gerrit Herrmann

Kapitel 38. Lösungsvorschläge zu Thema 17

Ein Beispiel für eine geheimnisvolle 3-mal-3-Zahlentafel ist Abbildung 17.1 oder auch dem Titelbild zu Kapitel II.17 entnehmen.

Karin Binder, Georg Bruckmaier

Kapitel 39. Lösungsvorschläge zu Thema 18

Für die Sequenz erhalten wir die Schritte in Abbildung 18.1 (und Roro schaut am Ende wieder nach Norden).

Clara Löh

Backmatter

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