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2018 | Buch

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Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr

Einfach und praktisch erklärt

verfasst von: Dr. Markus Otto

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik"

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Über dieses Buch

Matrizen und Indizes bereiten euch Angst und Schrecken? Integration in krummlinigen Koordinaten ist ein Buch mit sieben Siegeln? Und was der Satz von Stokes für die Elektrodynamik sagen möchte, ist ebenfalls ein Rätsel? Dann ist dieses Lehrbuch genau der richtige Begleiter für euch!

Die Rechentechniken, die ihr in den ersten Semestern im Physikstudium braucht, werden hier motivierend eingeführt und anhand zahlreicher, unterhaltsamer Beispiele demonstriert. Auf typische Fallen und nützliche Tricks weist euch der Autor ebenso hin - und lässt dabei seine eigenen Erfahrungen als Student, Tutor und Übungsleiter einfließen. Wichtige Rechnungen werden komplett ausgeschrieben und auf mathematische Beweise bewusst verzichtet.

Zuerst werden euch die wichtigsten mathematischen Grundlagen vorgestellt: Vektoren, Matrizen, komplexe Zahlen, Ableitungen, Integrale, Differenzialgleichungen, Vektoranalysis und Fourier-Entwicklung sind danach kein Hexenwerk mehr. Anschließend wird das Gelernte auf einfache physikalische Probleme in der Mechanik und Elektrodynamik angewendet.

Am Ende eines jeden Abschnitts oder Kapitels gibt es für euch einen „Spickzettel“, auf dem alle wesentlichen Formeln und Zusammenhänge zusammengefasst sind. Neben den Beispielen findet ihr in der neuen Auflage auch komplexere Hausübungsaufgaben - Lösungen inklusive. Anhand von zwei typischen Übungsklausuren könnt ihr euer Wissen abschließend testen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Vektorrechnung

Zusammenfassung

Im ersten Kapitel dieses Buches werden wir als ein grundsätzliches Werkzeug in der Physik die Vektorrechnung einführen. Mit Hilfe von Vektoren lassen sich gerichtete Größen wie z. B. Kräfte mathematisch handhaben. Dazu führen wir zunächst den Begriff des Vektors und die grundlegenden Rechenoperationen ein, betrachten anschließend Skalar- und Kreuzprodukt sowie deren Kombination und Anwendung, und werden am Ende des Kapitels die physikalische Definition eines Koordinatensystems nebst wichtigen Vertretern kennenlernen.

Markus Otto

Kapitel 2. Lineare Algebra

Zusammenfassung

Die Lineare Algebra beschäftigt sich mit speziellen Abbildungen, z. B. Spiegelungen und Drehungen von Vektoren. Hierbei ist das zentrale Werkzeug die Matrix, mit der die Abbildungen beschrieben werden können. Wir werden uns zunächst mit Matrizen und ihren Rechengesetzen beschäftigen, anschließend eine zentrale Anwendungsmöglichkeit der Matrizen in linearen Gleichungssystemen diskutieren und danach Abbildungen, speziell Drehungen behandeln. Im letzten Abschnitt werden wir schließlich einen Algorithmus kennenlernen, der aus einem nicht notwendigerweise geeigneten, vorgegebenen Koordinatensystem zur Beschreibung eines physikalischen Problems ein maximal angenehmes Koordinatensystem durch Drehung konstruiert.

Markus Otto

Kapitel 3. Rechnen mit Indizes

Zusammenfassung

Die bisherigen Themen sollten noch dem einen oder anderen aus der Schule geläufig sein. Was aber garantiert noch niemand – zumindest auf einem gewöhnlichen Gymnasium – gesehen haben dürfte, ist die sogenannte Indexschreibweise. Hierbei handelt es sich um eine Art Stenografie und schockt erfahrungsgemäßig die Erstsemesterstudierenden. Wir werden die Schreibweise im Folgenden sehr ausführlich einführen und besprechen. Vermutlich wird ihr Nutzen jedoch erst im weiteren Verlauf ersichtlich, und auch der Umgang mit der Indexschreibweise bedarf einiger Übung. Daher: Keine Panik, und immer ein Handtuch dabeihaben!

Markus Otto

Kapitel 4. Differenzialrechnung

Zusammenfassung

Die Differenzialrechnung beschäftigt sich mit der lokalen Änderungsrate von Funktionen. Wir führen die Ableitung zunächst geometrisch ein. Anschließend erweitern wir das Konzept auf Funktionen mehrerer Veränderlicher und schauen uns die Linearisierung genauer an. Im letzten Abschnitt diskutieren wir die Ableitung vektorwertiger Funktionen.

Markus Otto

Kapitel 5. Integration

Zusammenfassung

Neben der Vektor-, Matrizen- und Differenzialrechnung gibt es noch eine vierte „Grundrechenart“, die einem ab dem ersten Semester sehr häufig in vielerlei Gestalt begegnet: die Integralrechnung. Diese fragt als Umkehrung der Differenzialrechung unter anderem, zu welchem Gesamtresultat in Summe kleinste Änderungen einer veränderlichen Größe beitragen können. Über diesen Summenbegriff werden wir das Integral zunächst mit einer Veränderlichen als mathematisches Werkzeug einführen, einfache und ausgefeilte Rechenmethoden kennenlernen, dann das Integral auf mehrere Veränderliche erweitern und zum Abschluss eine besondere Klasse Funktionen, die sogenannten Distributionen, kennenlernen, deren zentrale Eigenschaft über ein Integral definiert ist.

Markus Otto

Kapitel 6. Bahnkurven

Zusammenfassung

In diesem Kapitel definieren wir den Begriff der Bahn eines Teilchens mit Hilfe vektorwertiger Funktionen. Dazu werden wir zunächst Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Teilchens einführen und anschließend spezielle Bewegungen betrachten, die für die Mechanik von Bedeutung sind. Mit der Bogenlänge diskutieren wir ferner ein Verfahren zur Berechnung der Länge einer Kurve und beschreiben abschließend Kurven in krummlinigen Koordinaten, ebenfalls als Vorbereitung für die Mechanik.

Markus Otto

Kapitel 7. Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Beim Berechnen vieler physikalischer Systeme (z. B. beim Fadenpendel) treten komplizierte Gleichungen auf, die Funktionen, Ableitungen beliebigen Grades und Variablen enthalten. Diese Gleichungen heißen Differenzialgleichungen. In diesem Kapitel werden wir uns mit solchen Gleichungen auseinandersetzen und Lösungsstrategien kennenlernen.

Markus Otto

Kapitel 8. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

Bisher haben wir nur mit reellen Zahlen und Funktionen gerechnet. In diesem Kapitel wird der Zahlenbereich aber auf den Körper der komplexen Zahlen C erweitert, wodurch z. B. Gleichungen der Form \(x^2 = -1\) algebraisch lösbar werden. Nachdem die grundlegenden Begriffe definiert und Rechenregeln eingeführt wurden, werden wir verschiedene Darstellungen komplexer Zahlen behandeln und die wichtige Euler-Formel kennenlernen. Im letzten Abschnitt des Kapitels wird dann anhand zweier Beispiele gezeigt, wie komplexe Zahlen im Rechenalltag helfen können.

Markus Otto

Kapitel 9. Vektoranalysis

Zusammenfassung

Wir werden unsere bisherigen mathematischen Konzepte von mehrdimensionalen Funktionen mehrerer Veränderlicher aus Kap. 4 und 5 im Folgenden auf spezielle Funktionen, sogenannte Felder, anwenden. Dabei werden wir wieder mit dem Differenzialoperator \(\nabla \) konfrontiert, welcher auf Felder angewandt weitreichende Interpretations- und Anwendungsmöglichkeiten liefert. Nachdem wir uns mit der Notation im Kartesischen vertrauter gemacht haben, werden die Erkenntnisse auf beliebige Koordinatensysteme erweitert und Begriffe wie Fluss durch Oberflächen, metrischer Tensor sowie Oberflächen- und Volumenintegrale über Feldern eingeführt. Alle diese Werkzeuge sind wichtige Hilfsmittel für ein tiefergehendes Verständnis der Elektrodynamik, welche in Kap. 13 angerissen wird.

Markus Otto

Kapitel 10. Fourier-Analysis

Zusammenfassung

Bei der Fourier-Entwicklung versucht man, eine beliebige, periodische Funktion durch Sinus- und Kosinusfunktionen anzunähern. Sind die zu zerlegenden Funktionen nicht periodisch, so kann man auf die Fourier-Transformation zurückgreifen. Sie findet in vielen Gebieten der Physik Anwendung, wir werden sie allerdings hauptsächlich zur Lösung von Differenzialgleichungen benutzen. Beide Verfahren werden in diesem Kapitel an Beispielen ausführlich besprochen.

Markus Otto

Kapitel 11. Partielle Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Eine partielle Differenzialgleichung ist eine DGL mehrerer Veränderlicher. Wir werden in diesem Kapitel zunächst eine grobe Charakterisierung bestimmter Typen von partiellen Differenzialgleichungen kennenlernen und dann anhand ausgewählter Beispiele aus der Physik wie z. B. Diffusions- und Wellengleichung Lösungsstrategien entwickeln und diskutieren.

Markus Otto

Kapitel 12. Anwendungen in der Mechanik

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir die in den bisherigen Kapiteln erlernten mathematischen Methoden anhand ausgewählter Themen aus der Mechanik einüben und anwenden. Zunächst wird dazu eine Einführung in die Dynamik gegeben, anschließend die Erhaltungssätze von Energie, Impuls und Drehimpuls erläutert und danach Schwingungen diskutiert. Den Abschluss dieses Kapitels bildet die Kinematik und Dynamik der Rotation ausgedehnter Körper.

Markus Otto

Kapitel 13. Ausgewählte Anwendungen in der Elektrodynamik

Zusammenfassung

In diesem letzten Kapitel werden wir die erlernten mathematischen Methoden in ausgesuchten Teilen der Elektrodynamik anwenden. Hierbei wird es vor allem um bewegte geladene Teilchen und das Verhalten elektromagnetischer Felder selbst gehen. Wir starten direkt mit bewegten Ladungen und werden anschließend zu einer vollständigen Formulierung der Elektrodynamik mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen vorpreschen. Die Spezialfälle der Elektrostatik und Magnetostatik werden angeschnitten, ebenso wie final die Lösung der Maxwell-Gleichungen.

Markus Otto

Backmatter

Titel: Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr
verfasst von: Dr. Markus Otto
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-57793-6
Print ISBN: 978-3-662-57792-9
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-57793-6

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