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21.04.2015 | Ausgabe 2/2016

Journal of Scientific Computing 2/2016

Recovery-Based Error Estimator for the Discontinuous Galerkin Method for Nonlinear Scalar Conservation Laws in One Space Dimension

Zeitschrift:
Journal of Scientific Computing > Ausgabe 2/2016
Autor:
Mahboub Baccouch
Wichtige Hinweise

Conflict of interest

The author declares that he has no conflict of interest.

Ethical standard

The author agrees that this manuscript has followed the rules of ethics presented in the journal’s Ethical Guidelines for Journal Publication.

Funding

This study was funded by the University Committee on Research and Creative Activity (UCRCA Proposal 2015-01-F) at the University of Nebraska at Omaha.

Abstract

In this paper, we propose and analyze a robust recovery-based error estimator for the original discontinuous Galerkin method for nonlinear scalar conservation laws in one space dimension. The proposed a posteriori error estimator of the recovery-type is easy to implement, computationally simple, asymptotically exact, and is useful in adaptive computations. We use recent results (Meng et al. in SIAM J Numer Anal 50:2336–2356, 2012) to prove that, for smooth solutions, our a posteriori error estimates at a fixed time converge to the true spatial errors in the \(L^2\)-norm under mesh refinement. The order of convergence is proved to be \(p + 1\), when \(p\)-degree piecewise polynomials with \(p\ge 1\) are used. We further prove that the global effectivity index converges to unity at \(\mathcal {O}(h)\) rate. Our proofs are valid for arbitrary regular meshes using \(P^p\) polynomials with \(p\ge 1\), under the condition that \(|f'(u)|\) possesses a uniform positive lower bound, where \(f(u)\) is the nonlinear flux function. We provide several numerical examples to support our theoretical results, to show the effectiveness of our recovery-based a posteriori error estimates, and to demonstrate that our results hold true for nonlinear conservation laws with general flux functions. These experiments indicate that the restriction on \(f(u)\) is artificial.

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