Reguläre Karten

Wir übertragen eine Symmetrieeigenschaft der platonischen Körper auf eine abstrakte zellzerlegte geschlossene Fläche, die reguläre Karte genannt wird, wenn gilt: 1. Jede Zelle hat gleich viele Ecken, und sie wird abstrakt durch eine zyklische Folge ihrer Ecken beschrieben. 2. An jeder Ecke gibt es gleichviele Zellen, die diese Ecke enthalten, und diese Zellen bilden eine zyklische Folge um diese Ecke. 3. Es gibt eine Symmetriegruppe mit Permutationen der Ecken als Elemente, sodass nach zweimaliger Auswahl eines n-Ecks mit einer Kante dieses n-Ecks und einer Ecke dieser Kante die erste Auswahl in die zweite Auswahl durch ein Element der Symmetriegruppe überführt werden kann, ohne dabei die Struktur der Zellzerlegung zu verändern. Die zellzerlegte geschlossene Fläche im Fall der platonischen Körper war eine zweidimensionale Sphäre.Wir betrachten jetzt kombinatorische symmetrische Strukturen auf einer beliebigen zusammenhängenden geschlossenen Fläche. Wichtige reguläre Karten wurden im 19. Jahrhundert im Zusammenhang mit Riemann’schen Flächen gefunden. Wir behandeln u.a. reguläre Karten von Harold Scott MacDonald Coxeter, Walther von Dyck, Adolf Hurwitz und Felix Klein mit ihren jüngsten durchdringungsfreien topologischen und polyedrischen Realisierungen.