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Erschienen in:
2007 | OriginalPaper | Buchkapitel
Rekursionen und Wachstum von Algorithmen
Erschienen in: Mathematik für Informatiker
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Viele Abzählprobleme können nicht direkt mithilfe der Methoden gelöst werden, die wir im Kapitel 7 kennen gelernt haben. Ein Beispiel für ein solches Problem ist: Wie viele Möglichkeiten gibt es, Bitfolgen der Länge
n
zu bilden, die keine aufeinander folgenden 1 enthalten? Wenn wir zum Beispiel
n
= 3 setzen, dann können wir die erlaubten Bitfolgen leicht anschreiben: 000, 100, 010, 001, 101; es gibt also fünf derartige Folgen. Wie viele gibt es aber zum Beispiel für
n
= 8 oder
n
= 12? Es wäre praktisch, eine Formel für allgemeines
n
zu haben. Wenn wir mit
a
n
die Anzahl der erlaubten Bitfolgen der Länge
n
bezeichnen, dann werden wir in diesem Kapitel sehen, dass
a
n
+1
=
a
n
+
a
n
−1
ist. Wir können also die gesuchte Anzahl mithilfe einer
Rekursion
ausdrücken. Mithilfe der
Anfangsbedingungen
a
1
= 2 und
a
2
= 3 können wir
a
3
=
a
2
+
a
1
= 5 berechnen, und weiter
a
4
=
a
3
+
a
2
= 8 usw. Es ist sogar möglich, ein nicht-rekursives Bildungsgesetz
a
n
=
f
(
n
) zu finden. Wir erhalten es durch
Lösung
der Rekursion.