3. Relationen und Funktionen

In den Anwendungen tauchen häufig Situationen auf, in denen bestimmte Größen in einer ganz speziellen Art und Weise von anderen Größen abhängen oder mit ihnen in Verbindung, in Relation, stehen.

Um als Einstieg ein konkretes Beispiel vor Augen zu haben, wird im Folgenden ein Auto betrachtet, das eine vorgegebene Wegstrecke zurückzulegen hat. Befindet sich in diesem Auto ein hinreichend präzise arbeitender Fahrtenschreiber, so zeichnet er z. B. für jeden Zeitpunkt \(t\) eines Tages die momentane Geschwindigkeit \(V\) des Fahrzeugs auf. Ein tabellarischer Ausschnitt dieser Aufzeichnung könnte wie folgt aussehen, wobei die angegebenen Minuten ab einem festgelegten Startzeitpunkt gemessen sein mögen: Es gibt also für jeden Zeitpunkt \(t\) des Tages genau eine Geschwindigkeit \(V\), mit der sich das Auto zu diesem Zeitpunkt fortbewegt hat. Aus diesem Grunde ist es sinnvoll, diese Abhängigkeit dadurch deutlich zu machen, dass man \(V_{t}\) oder \(V(t)\) schreibt. Mit dieser Notation lässt sich z. B. aus der Tabelle direkt entnehmen, dass der funktionale Zusammenhang \(V(127)=64\) gilt bzw. \(t=127\) in Relation zu \(V=64\) steht, wobei auf das Mitführen der Einheiten verzichtet wurde. In der Mathematik werden zur Beschreibung von Zusammenhängen des obigen Typs sowohl Relationen als auch Funktionen verwendet. Relationen sind dabei vielleicht aus dem Umfeld der sogenannten relationalen Datenbanken bereits bekannt und Funktionen (auch Abbildungen genannt) gehören generell zu den wichtigsten mathematischen Objekten überhaupt.