Relativistische Quantenmechanik

Das Buch enthält den Stoff einer einsemestrigen, zweistündigen Vorlesung für Bachelor- und Masterstudenten. Es werden relativistische Wellengleichungen behandelt, insbesondere die Dirac-Gleichung für Fermionen, und die Klein-Gordon-Gleichung für Bosonen. Im Coulomb-Feld von wasserstoffähnlichen Kernen lassen sich mit relativistischen Wellenglei-chungen die elektronischen (oder myonischen) Energieniveaus und Ei-genfunktionen – bis auf quantenelektrodynamische Effekte – analytisch berechnen. Entsprechendes gilt für pionische (oder kaonische) Atome. In der Einleitung zeichne ich zunächst die Entwicklung nach, deren Ergebnis die Aufstellung Lorentz-invarianter relativistischer Wellengleichungen durch Schrödinger, Klein, Gordon und Dirac war. Das Literaturverzeichnis enthält dementsprechend auch einige der wissenschaftshistorisch interessanten Originalarbeiten. Ziel des Buches ist es jedoch, ausgehend von der ursprünglichen Formulierung der relativistischen Quantenmechanik zu aktuellen Forschungsfragestellungen zu kommen. Hier werden zunächst die verwendete Notation, Einheiten, grundlegende Operatoren, die Grundgleichungen des Elektromagnetismus und die Lorentz-Transformation vorgestellt.

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird die Zeitentwicklung von Zuständen \(\left| \psi \right\rangle \) durch die Schrödinger-Gleichung (SE) bestimmt [1]. Da sie nicht relativistisch invariant gegenüber Lorentz-Transformationen (nicht Lorentz-kovariant) ist und den Eigendrehimpuls der Teilchen - insbesondere des Elektrons - unberücksichtigt lässt, kann sie nicht Grundlage einer relativistischen Theorie sein. In diesem Kapitel wird gezeigt, wie man das Korrespondenzprinzip nutzt, um relativistische Wellengleichungen abzuleiten. Zentral ist dabei die relativistische Energie- Impuls-Beziehung. Die Gleichungen enthalten auch den Teilchenspin; die Paulischen Spinmatrizen werden eingeführt.

Als relativistische Feldgleichung bestimmt die Klein-Gordon-Gleichung die Kinematik freier skalarer Felder (Mesonenfelder mit Spin 0). Die KGE ist eine homogene partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung, die unter Lorentz-Transformation  forminvariant (relativistisch kovariant) ist. Wir untersuchen sie hier zunächst als Gleichung für ein freies Spin-0-Teilchen, später für ein Meson im elektromagnetischen Feld, beispielsweise ein negatives Pion  im Coulomb-Feld eines Kerns. Ausgehend von der quadrierten relativistischen Energie-Impuls-Beziehung wird die Klein-Gordon-Gleichung abgeleitet, ihre Eigenschaften werden diskutiert und die freien Lösungen vorgestellt. Die Wechselwirkung eines relativistischen Spin-0-Teilchens mit einem elektromagnetischen Feld lässt sich durch minimale Kopplung analog zur nichtrelativistischen Theorie behandeln und die Kontinuitätsgleichung mit Feld wird abgeleitet. Die KGE im elektromagnetischen Feld wird für ein sphärisch symmetrisches Potenzial durch Separations- und Potenzreihenansatz in sphärischen Polarkoordinaten gelöst. Die Lösungen werden für ein Pion im Coulomb-Potenzial eines Kerns und - bei Berücksichtigung der endlichen Kernausdehnung - im Oszillator-Coulomb-Potenzial bestimmt. Im nichtrelativistischen Grenzfall ergibt sich wieder die Schrödingergleichung.

Um die mit der KGE verbundenen Schwierigkeiten zu vermeiden − insbesondere die nicht positiv-definite Dichte −, suchte Dirac nach einer in den zeitlichen und örtlichen Ableitungen linearen Gleichung. Aus dem Ansatz eines linearen Hamiltonoperators mit Alpha- und Beta-Matrizen ergibt sich bei passender Wahl der \(N\times N\) Matrizen die Dirac-Gleichung. Da die Gleichung von erster Ordnung in der Zeit ist, bleibt die Dichte positiv semidefinit; wegen der Forderung relativistischer Invarianz dürfen auch die räumlichen Ableitungen nur von erster Ordnung sein. Die Eigenschaften der \(4 \times 4\) Dirac-Matrizen werden besprochen und die Gleichung wird kovariant mit Gamma-Matrizen formuliert. Nach den Lösungen der freien Dirac-Gleichung folgt die Behandlung der Kopplung an das elektromagnetische Feld. Die Pauli-Gleichung lässt sich dann in der nichtrelativistischen Näherung ableiten, ebenso der Zusammenhang zwischen magnetischem Moment, Bahndrehimpuls und Spin. Im Rahmen der Dirac-Theorie ist der gyromagnetische Faktor (Landé-Faktor) gleich zwei, auf Abweichungen im Rahmen der Quantenelektrodynamik wird hingewiesen. Aus der Kontinuitätsgleichung mit elektromagnetischem Feld folgt in der Dirac-Theorie wie gefordert eine positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte. Auf die Bedeutung der Dirac-Gleichung mit Feld insbesondere für die Physik myonischer Atome wird hingewiesen.

Die Dirac-Gleichung wird in diesem Kapitel für ein statisches zentralsymmetrisches Potenzial wie das Coulomb-Feld eines sphärischen Kerns analytisch gelöst und die Energieeigenwerte und Eigenfunktionen für wasserstoffähnliche Atome werden in geschlossener Form berechnet. Die Radialgleichungen werden durch Reihenentwicklungen gelöst, die zur Erfüllung der asymptotischen Randbedingungen abbrechen müssen, so dass die Wellenfunktionen normierbar bleiben. Aus der Abbruchbedingung ergeben sich die Energieeigenwerte. Das Termschema von Wasserstoff wird diskutiert. Dabei vernachlässigen wir zunächst die durch Vakuumfluktuationen erzeugte Lamb-Shift. Wir können sie in einer didaktisch motivierten Überlegung abschätzen, aber erst in der Quantenelektrodynamik (QED) genau berechnen; Präzisionsmessungen bestätigen diese Theorie mit sehr hoher Genauigkeit. Besondere Bedeutung haben Lösungen der Dirac-Gleichung für myonische Atome, da der Bohr’sche Radius des Myons wegen der großen Teilchenmasse 207-mal kleiner als der des Elektrons ist, das Myon deshalb empfindlich auf die Eigenschaften des Kerns elektromagnetisch reagiert und die Wellenfunktionen tiefliegender Zustände sehr genau bestimmt werden müssen.

Eine sehr interessanter Aspekt der Dirac-Theorie ergibt sich beim Eindringen eines relativistischen Elektrons in eine Potenzialbarriere, wenn die Höhe der Barriere die Ruhemasse des Elektrons übersteigt: Beim Klein’schen Paradoxon findet man als Folge der Dirac-Theorie eine unerwartet hohe Transmission relativistischer Elektronen durch eine steil ansteigende (im Idealfall senkrechte) Potenzialwand; sie hängt nur schwach von der Barrierehöhe ab. Dies ist in deutlichem Gegensatz zum Tunneleffekt im nichtrelativistischen Fall, wo die Transmission mit steigender Barrierehöhe exponentiell abnimmt. Die Dirac-Gleichung wird analytisch gelöst und der Transmissionskoeffizient wird berechnet. Obwohl die Originalrechnungen von Klein und Sauter mehr als 80 Jahre zurückliegen, können wir die Voraussage bis heute (2022) nicht einwandfrei experimentell testen, da sich genügend starke Felder bisher nicht erzeugen lassen. Möglicherweise gelingt dies in Zukunft mit Hilfe elektrostatischer Barrieren in Graphen.

Die Weyl-Gleichung ähnelt der Dirac-Gleichung, gilt jedoch nur für Fermionen mit Masse \(m = 0\). Anders als die Dirac-Gleichung mit endlicher Masse verletzt sie die Paritätsinvarianz und wurde deshalb erst nach der experimentellen Bestätigung der Paritätsverletzung von den Theoretikern akzeptiert. Zwar ist seit der Entdeckung der Neutrinooszillationen (2002) klar, dass Neutrinos – anders als von Pauli ursprünglich vorgesehen – nicht masselos sind, sondern eine geringe Ruhemasse haben, deren genaue Bestimmung Gegenstand heutiger experimenteller Forschung ist. Dennoch kann die Weyl-Gleichung einige grundlegende Eigenschaften masseloser Fermionen wie ihre Chiralität (Händigkeit) gut illustrieren. In diesem Kapitel wird nach einer Einleitung zu Neutrinos die Weyl-Gleichung für masselose links- und rechtshändige Teilchen gelöst und die Lösungen werden im Hinblick auf die Eigenschaften gegenüber der Paritätstransformation diskutiert.

Dirac-Gleichung und Maxwell-Gleichungen liefern gemeinsam eine Theorie des Elektromagnetismus. Dabei müssen jedoch die Quantenpostulate berücksichtigt – d. h. das Feld quantisiert – werden; die daraus resultierende Quantenfeldtheorie des Elektromagnetismus heißt Quantenelektrodynamik, QED. Die in diesem Kapitel dargestellte kurze Einführung in Prinzipien der Quantenfeldtheorien und speziell der QED soll einen ersten Einblick in Fragestellungen und Methoden geben. Im physikalischen Bild der QED kann auch ein ruhendes Elektron als Folge der Energie-Zeit-Unschärferelation ein virtuelles Photon aussenden, sofern dieses schnell genug wieder absorbiert wird. Durch die resultierenden quantenelektrodynamischen Effekte wird der g-Faktor des Elektrons in perfekter Übereinstimmung von Theorie und Experiment im Promillebereich über den Dirac-Wert \(g=2\) vergrößert, die Lamb-Shift lässt sich präzise berechnen und auch der Casimir-Effekt kann durch den Einfluss der virtuellen Photonen erklärt werden. Als einfachstes Verfahren zur Feldquantisierung wird zunächst die kanonische Quantisierung behandelt, die wie die erste Quantisierung wieder das Korrespondenzprinzip nutzt. Die Feldoperatoren lassen sich in der Besetzungszahldarstellung mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren darstellen. Sie erfüllen für Bose- und Fermifelder jeweils unterschiedliche Vertauschungs- bzw. Antivertauschungsrelationen. Als Folge der Auszeichnung der Zeit ist die kanonische Quantisierung jedoch nicht Lorentz-invariant. Zur Quantisierung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes wird deshalb ein Verfahren eingesetzt, das Raum- und Zeit-Koordinaten in gleicher Weise behandelt und deshalb Lorentz-invariant ist. Durch die (zusätzliche) Lorenz-Bedingung werden die dabei auftretenden unphysikalischen Polarisationszustände mit dem Gupta-Bleuler-Verfahren eliminiert und gleichzeitig werden auf diese Weise Zustände positiver Norm erzeugt. Unter Berücksichtigung der Quantenpostulate durch die Vertauschungsrelationen werden dann Erwartungswerte physikalischer Größen wie der elektrischen und magnetischen Feldstärken berechnet, sowie von Energie und Impuls. Dabei lassen sich divergente Resultate durch Subtraktion der Vakuumenergie bzw. Einführung des normalgeordneten Produkts bei Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren vermeiden.

In diesem Kapitel wird zunächst eine kurze Einführung in die Invarianten bei relativistischen Reaktionen gegeben, die an Teilchenbeschleunigern wie dem Large Hadron Collider (LHC) am CERN in Genf wichtig sind. Wichtige Invarianten bei relativistischen Streuprozessen sind insbesondere die Mandelstam-Variablen: die Quadrate von Schwerpunktsenergie und Viererimpulstransfers. Die nichtrelativistische Näherung der Energie wird im Schwerpunkts- und im Laborsystem berechnet, man erhält so die bekannten nichtrelativistischen Ausdrücke. Der Vorteil von Collider- gegenüber Fixed-Target-Experimenten wird diskutiert. Ausgehend vom Lorentz-invarianten Wirkungsquerschnitt für die Teilchenerzeugung bei relativistischen Kollisionen werden die Variablen transverser Impuls, transverse Masse und Rapidität eingeführt. Verteilungen erzeugter Teilchen werden in der Regel als Funktion dieser Variablen gemessen und berechnet.

Wir diskutieren Schwerionenkollisionen bei relativistischen Energien, wie sie am Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC) des Brookhaven Laboratoriums und am Large Hadron Collider (LHC) des CERN in Genf bei Au-Au und Pb-Pb Kollisionen erreicht werden. Dort sind die Gleichungen der relativistischen Quantenmechanik nur von begrenztem Nutzen, da die in ihnen enthaltene Phaseninformation in den Vielteilchensystemen bei hohen Temperaturen im MeV-Bereich weitgehend verlorengeht. Sie werden deshalb wesentlich durch Transportgleichungen für Wahrscheinlichkeitsverteilungen ersetzt, die hier in stark vereinfachter Form vorgestellt werden. Bei der schnellen Thermalisierung des Systems aus Quarks und Gluonen sind dies nichtlineare Diffusionsgleichungen, die für schematische Anfangsbedingungen analytisch lösbar sind und beschreiben, wie die rasche zeitliche Entwicklung hin zu Bose-Einstein-Verteilungen der Gluonen und Fermi-Dirac-Verteilungen für Quarks in der kurzen \((t < 1 fm/c)\) Anfangsphase der Kollision abläuft. Das Stopping der Kollisionspartner und die Erzeugung von geladenen Teilchen - bei der höchsten LHC Energie können das in zentralen Kollisionen mehr als 20 000 geladene Hadronen sein - lässt sich dann durch lineare Transportgleichungen vom Fokker-Planck-Typ beschreiben, wie der Vergleich mit Daten vom LHC zeigt. Es werden insbesondere transverse Impulsverteilungen und Rapiditätsverteilungen erzeugter geladener Hadronen mit Messergebnissen für symmetrische und asymmetrische Systeme verglichen.

Die Testaufgaben im letzten Kapitel des Buches sollen als Anreiz dienen, den Stoff dieses Kurses beispielhaft auch selbst nachzurechnen: Die Mehrzahl der Lösungen ist bereits im vorhergehenden Text versteckt – auf die jeweiligen Kapitel wird hingewiesen-, weitere werden hier berechnet.